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1、第一节 第二型曲面积分,一、第二型曲面积分的概念和性质,二、第二型曲面积分的计算,1 定向曲面,2 第二型曲面积分的概念,3 第二型曲面积分的性质,1 分面投影法,2 合一投影法,1 定向曲面,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,能区分出曲面的侧 的曲面叫做双侧曲面.,一、第二型曲面积分的概念和性质,典型双侧曲面,选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面.,用表示选定了某个侧的定向曲面，,则选定其相反侧的定向曲面用表示.,注意：与是不同的曲面.,1 定向曲面,规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总是指向曲面取定的侧.,例如，空间直角坐标系中 x轴指向前方
2、，y轴指向右方，z轴指向上方。,y,z,O,x,1 定向曲面,即 与oz 轴正向交成锐角,关于oz 轴的方向余弦,1 定向曲面,即 与oz 轴正向交角为钝角,关于oz 轴的方向余弦,1 定向曲面,光滑曲面y=y(x,z)的右侧和左侧的法向量分别为：,光滑曲面x=x(y,z)的前侧和后侧的法向量分别为：,1 定向曲面,光滑曲面由参数方程：,则它的侧由法向量：,x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v).,选定“+”号或“”号确定,例1 在球坐标系下单位球面表示为,1 定向曲面,典型单侧曲面:莫比乌斯带,2 第二型曲面积分的概念,设 表示流体的流速场，为场中的一片定向曲面，欲求单位时间内
3、流体由曲面负侧经曲面流向正侧的流量。,实例:流向曲面一侧的流量.,M,dS,单位时间流经曲面微元 的流量 可近似地看做一细柱体，底面为，高为 故,求和 单位时间流经的流量：,取极限,2 第二型曲面积分的概念,定义1:设 是一向量场，是场中的一定向曲面，称为向量场 流经曲面的通量.,记,当 是电位移向量，则 就是穿过曲面的电通量，,当 是磁感应强度，则 就是穿过曲面的磁通量.,2 第二型曲面积分的概念,则 在单位时间流经曲面的通量为,2 第二型曲面积分的概念,若记,2 第二型曲面积分的概念,则,这时第二型曲面积分(1.2)也可写成,第二型曲面积分又称为对坐标的曲面积分。,2 第二型曲面积分的概念
4、,曲面积分,2 第二型曲面积分的概念,2 第二型曲面积分的概念,3 第二型曲面积分的性质,(1)（线性）其中，和 为常数.,(2)（可加性）设 且 则,(4)（长大不等式）设 则,(3)设 表示相对 的负侧，则,3 第二型曲面积分的性质,第二型曲面积分主要化为二重积分计算,二、第二型曲面积分的计算,1 分面投影法,设光滑曲面是由定义在投影区域 的单值函数z=z(x,y)表示则其中，面积微元 是dS在xoy平面的投影.,因此，在第二型曲面积分，,而，,二、第二型曲面积分的计算,二、第二型曲面积分的计算,若过投影区域 的点作平行于oz轴的直线和曲面的交点多于一个，则可把分割成若干个小片，使每个小片
5、均与平行于oz轴的直线的交点不多于一个，然后利用积分可加性计算沿曲面的积分。,若曲面由单值函数 是它在zox平面的投影区域；,若曲面由单值函数 是在yoz平面的投影区域。,都有相类似的结果，参见课本P260页。,二、第二型曲面积分的计算,例3 计算曲面积分其中是球面的外侧并满足的部分。,解 把分成上下两片，即位于第一卦限的部分 和位于第二卦限的部分，它们在xoy平面的投影区域,二、第二型曲面积分的计算,上侧,下侧,二、第二型曲面积分的计算,解：,例4 设是由以O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0)和C(0,0,1)为顶点的四面体OABC的表面，取外侧，求向量场 通过的通量。,OA
6、B的方程是,二、第二型曲面积分的计算,由(1.14)和(1.13)知,故,同理,二、第二型曲面积分的计算,面ABC 的方程为x+y+z=1，上侧单位法向量可取，故,所以,通量,由例2看到，我们可把第二型曲面积分化为相应坐标面的投影区域的二重积分进行计算，称这种方法为“分面投影法”。,二、第二型曲面积分的计算,注记 利用第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系也可以计算沿面ABC 的积分。,二、第二型曲面积分的计算,2 合一投影法,把三种类型的积分转化为对同一坐标面的积分.,因,例如，设曲面的方程为它与平行于坐标轴的直线均至多交于一点，其单位法向量为,故,二、第二型曲面积分的计算,于是,然后化为对x
7、oy平面的二重积分.,若的方程为 则,二、第二型曲面积分的计算,故,例如，在例3中的面ABC 由方程：表示，沿ABC 的积分,二、第二型曲面积分的计算,例5 计算曲面积分 其中是旋转抛物面 介于 及之间的部分，取下侧。,解：,曲面在xoy平面的投影区域,又,二、第二型曲面积分的计算,由(1.16),得,因 关于y轴对称，关于x是奇函数，故,二、第二型曲面积分的计算,实际上，如果化为二次积分，在利用定积分的性质便有，,又 关于直线 y=x 对称，故有,因此,二、第二型曲面积分的计算,二、第二型曲面积分的计算,二、第二型曲面积分的计算,若曲面由方程表示，则类似的讨论可知,二、第二型曲面积分的计算,若曲面由方程表示，则类似的讨论可知,二、第二型曲面积分的计算,
