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1、,立体体积,第九章 重积分,第四节,上页 下页 返回 结束,质心与转动惯量,曲面的面积,重积分的应用,一、立体体积,曲顶柱体:,其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,上页 下页 返回 结束,顶为连续曲面,底为xOy平面上区域 D,方法一、利用二重积分,方法二、利用三重积分,Dxy:,a,Dxy,联立,采用柱面坐标,例1.,解,上页 下页 返回 结束,上任一点的切平面与,所围立体的体积 V.,解 曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在 xOy 面上的投影为,(记所围域为D),在点,例2.求曲面,上页 下页 返回 结束,曲面,例3.求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积
2、.,解 在球坐标系下空间立体所占区域,则立体体积为,上页 下页 返回 结束,.,二、曲面的面积,实例,一颗地球同步轨道通讯卫星的轨道位于地球,的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道,通讯卫星运行的角速度与地球自转,的角速度相同，,若地球半径取为R,问卫星距地面的高度h 应为多少？,通讯卫星的覆盖面积是多大？,即人们看到它在,天空不动,上页 下页 返回 结束,问题：曲面的面积如何计算？,设曲面 S 的方程为：,如图，,曲面S 上,对应点为,上页 下页 返回 结束,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,上页 下页 返回 结束,设曲面的方程为：,则曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,则曲面面积公式为：,小
3、结,1.设曲面 S 的方程为：,则曲面面积公式为：,上页 下页 返回 结束,解,上页 下页 返回 结束,例5.计算半径为 a 的球的表面积.,解一,关于球面坐标，,球面的面积元素为,解二 利用直角坐标方程.(见课本 P109),利用球面坐标方程.,上页 下页 返回 结束,球面方程是,解,解方程组,得两曲面的交线（为圆周）：,在xOy平面上的投影域为,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,三、物体的质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知,该质点系的质心坐标,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,公式,分别位于,为,为,即,采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心,上页
4、下页 返回 结束,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似等于该物体的质心坐标.,的质点,即得质心坐标,此质点,在第 k 块上任取一点,上页 下页 返回 结束,同理可得,则得,上页 下页 返回 结束,形心坐标：,若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,对 x 轴的 静力矩,对 y 轴的 静力矩,上页 下页 返回 结束,例7.求位于两圆,和,薄片的质心.,解 由对称性可知,而,之间均匀,上页 下页 返回 结束,例8.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线,的方程为,内储有
5、高为 h 的均质钢液,解 由对称性可知质心在 z 轴上，,采用柱面坐标,炉壁方程为,因此,故,自重,求它的质心.,若炉,不计炉体的,质心坐标,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,算得,四、物体的转动惯量,设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数,该物体位于(x,y,z)处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.,上页 下页 返回 结束,空间点(x,y,z)到 z 轴的距离平方,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,上页 下页 返回 结束,空间点
6、(x,y,z)到原点O 的距离平方,空间点(x,y,z)到 z 轴的距离平方,空间点(x,y,z)到 x 轴的距离平方,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,上页 下页 返回 结束,平面点(x,y)到原点O 的距离平方,平面点(x,y)到 y 轴的距离平方,解,则对y 轴的转动惯量为,对x 轴的转动惯量为,上页 下页 返回 结束,设薄板的面密度为,解 取球心为原点,z 轴为 l 轴,则,球体的质量,例10.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),上页 下页 返回 结束,G 为引力常数,五、物体的引力,设物体占有空间区域,物体对位于原
7、点的单位质量质点的引力,利用元素法,在上积分可得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,上页 下页 返回 结束,对于 xOy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量,质点的引力分量分别为,上页 下页 返回 结束,例11.,设面密度为,半径为R的圆形薄片,求它对位于点,解 由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,上页 下页 返回 结束,例12.求半径 R 的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解 利用对称性知引力分量,点,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,作 业,P110 26；27；28；29；30；31；32；35；36,上页 下页 返回 结束,(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积减少的速率与侧面积成正比,(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小时?,上页 下页 返回 结束,2001考研试题,提示:,记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则,用极坐标,上页 下页 返回 结束,由题意知,令,得,(小时),因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100,小时.,上页 下页 返回 结束,
