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1、2023/10/20,同济版高等数学课件,习题课,级数的收敛、求和与展开,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和傅式级数 展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十二章,2023/10/20,同济版高等数学课件,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅里叶级数.,为傅氏系数)时,时为数项级数;,时为幂级数;,2023/10/20,同济版高等数学课件,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别
2、,积分审敛法,部分和极限,2023/10/20,同济版高等数学课件,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz审敛法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,2023/10/20,同济版高等数学课件,例1.若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,练习题:P320 1;2;3;4;5,2023/10/20,同济版高等数学课件,解答提示:,P320 题2.判别下列级数的敛散性:,提示:(1),据比较审敛法的极限形式,原级数发散.,2023/10/20,同济版高等数学课件,原级数发散,故原级数收敛,发散,收敛,用洛必达法则,原级数发散,2023/10/20,同
3、济版高等数学课件,时收敛;,时,为 p 级数,时收敛;,时发散.,时发散.,2023/10/20,同济版高等数学课件,P320 题3.设正项级数,和,也收敛.,法1 由题设,根据比较审敛法的极限形式知结论正确.,都收敛,证明级数,法2 因,故存在 N 0,当n N 时,从而,再利用比较法可得结论,2023/10/20,同济版高等数学课件,P320 题4.设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛.,问级数,提示:对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散.,例如,取,2023/10/20,同济版高等数学课件,P320 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条
4、件收敛性:,提示:(1),p 1 时,绝对收敛;,0 p1 时,条件收敛;,p0 时,发散.,(2),故原级数绝对收敛.,2023/10/20,同济版高等数学课件,因,单调递减,且,但对,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz审敛法知级数收敛;,2023/10/20,同济版高等数学课件,因,所以原级数绝对收敛.,2023/10/20,同济版高等数学课件,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R:,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,P320 题7.求下列级数的敛散域:,练习:,(自证),2023/10/20,同济版高等数学课
5、件,解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛域为,2023/10/20,同济版高等数学课件,解:因,故收敛域为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,2023/10/20,同济版高等数学课件,例2.,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:此题,2023/10/20,同济版高等数学课件,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和函数求积或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数 求和,2023/10/20,同济版
6、高等数学课件,例3.求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,2023/10/20,同济版高等数学课件,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,2023/10/20,同济版高等数学课件,练习:,解:(1),显然 x=0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,P320 题8.求下列幂级数的和函数：,级数发散,2023/10/20,同济版高等数学课件,(4),x0,2023/10/20,同济版高等数学课件,显然 x=0 时,级数收敛于0,根据和函数的连续性,有,x=1 时,级数也收敛.,即得,又,2023/10/20,同济版高等数学课件,练习:,解:原式=,的和.,P320 题9(2).求级数,注:本题
7、也可利用例3间接求和.,例3,2023/10/20,同济版高等数学课件,四、函数的幂级数和傅式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1)将函数,展开成 x 的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解:,1.函数的幂级数展开法,2023/10/20,同济版高等数学课件,2)设,将 f(x)展开成,x 的幂级数,的和.(2001考研),解:,于是,并求级数,2023/10/20,同济版高等数学课件,2023/10/20,同济版高等数学课件,2.函数的傅式级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,练习:,上的表达式为,将其展为傅氏级数.,P321 题11.设 f(x)是周期为2的函数,它在,解答提示,2023/10/20,同济版高等数学课件,思考:如何利用本题结果求级数,根据傅式级数收敛定理,当 x=0 时,有,提示:,2023/10/20,同济版高等数学课件,P320 6(2);7(3);8(1),(3);9(1);10(1);12,作业,2023/10/20,同济版高等数学课件,备用题 设幂级数,满足,解:设,内收敛,其和函数,(1)证明,(2)求 y(x)的表达式.,则由,代入微分方程得,(2007考研),2023/10/20,同济版高等数学课件,分析,故得,(2)由(1)知,可见,
