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1、高效课堂的探索,余姚历山中学 景祝君,怎样的课算是一堂好课?,课程标准指出：学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的；提倡学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流；动手实践、自主探索与合作交流应成为学生学习数学的重要方式；学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程；,而教师应激发学生的学习积极性，并提供学生的活动机会；使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法；教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。,好课的标准，应是这样八个字，即,吉林省教育科学院院长 聂海清,教师的教“善于启发”，学生的学“主动积极”。,课堂体现出“善于启发”、“主动积极”，就
2、是好课,数学教学专家邱学华归纳一堂好课的基本特征是三个字：,语文特级教师袁浩归纳一堂好课的标准是四个字：,趣、实、活。,新、实、活、乐。,趣：主要体现在培养学生的兴趣，使学生爱学、乐学，激发学生学习动机。,实：主要体现在基础知识和基本技能的训练扎实。,活：主要体现在教师教学方法的灵活，学生思维的活跃，课堂气氛的活泼。,新：主要体现在教师有开拓精神，能用先进的数学理念指导教学实践，常教常新，并能激发学生的创新意识，创新思维，创新精神。,基本要求(1)：有意义 基本要求(2)：有效率 基本要求(3)：生成性 基本要求(4)：常态性,华东师范大学博士生导师叶澜教授认为，一堂好课没有绝对的标准，但应有
3、一些基本的要求。,真正的好课，教师应教得自然，学生应学得主动，师生共同沉浸于探索知识的忘我境界之中，课堂充满探究的氛围，焕发出生命的活力。,然而，自实施新课改以来，我们研究“好课”，研究“减负增效”，却在推进新课程改革的同时出现了一些痛心的状态，如：,（1）初中学生不喜欢的科目是数学，最难学的是数学，学生在数学课堂上开小差、睡觉的现象时有发生；（2）“教教材”的观念没有彻底放弃，对数学资源开发严重不足，课堂教学与我们学生的生活环境差距较大，课堂平淡乏味，不能激发学生兴趣；（3）新课程理念在数学教学中落实不到位，过程与方法、情感态度与价值观目标严重弱化；（4）数学教学出现了“四多”：课上老师讲得
4、多、平时老师辅导多、课后学生练得多、结果老师抱怨多，老师和学生都做了许多无效的劳动。,因此，如何有效地提高数学课堂教学质量一直是数学教学所关注的焦点问题。随着教学研究的不断深入，这些关注逐渐被一个新的名词所代替，那就是“有效教学”。,高效课堂的探索,余姚历山中学 景祝君,课堂有效教学探索,美国鲍里奇等教授的研究指出，有效的课堂教学应体现五个特征：（1）清晰的教学思路；（2）多样化的教学方法；（3）任务导向明确；（4）学生的投入；（5）成功率高。,一、什么是有效教学,我国的余文森教授从专业的角度回答了什么是课堂教学的有效性问题，他认为：课堂教学的有效性是指通过课堂教学使学生获得发展。发展就其内涵
5、而言，指的是知识、技能，过程、方法与情感、态度、价值观三者（三维目标）的协调发展。余教授认为，“课堂教学的有效性特征（或表现）可以列举很多，但最核心的一点是看学生是否愿意学、主动学以及怎么学、会不会学”。,国内的其他一些教学专家对数学课堂教学的有效性也提出了三个方面的特征要求：（1）是学生在已有知识经验基础上的主动建构过程；（2）是充满观察、实验、猜想、验证、推理、交流等丰富多彩的数学活动；（3）是富有个性化的、多种学习需求的过程。,那么如何实现数学课堂教学的有效性呢？,整体策略 教学方法灵活化 课堂教学艺术化 教学指导个性化 对待学生情感化具体策略 教学目标清晰化 课堂引入趣味化 讲解例题多
6、变化 分析思路常规化 点拨规律条理化 数学训练科学化 选题难度层次化 运算能力加强化,（一）教学目标清晰化 应突出学生将获得什么发展,二、实现数学课堂有效性的策略,进行数学教学之初，教师应先关注的不是“学生要学什么数学”，而是“学完本节数学课学生将获得了什么发展”，这就是教学目标。确定科学、准确且符合实际的教学目标是保证数学教学有效性的首要条件。新课程强调数学教学应关注数学课程的三维目标（知识与技能、过程目标、情感态度价值观等）的达成，与原有课程相比，新课程在关注知识结果目标的同时，更注重对过程目标的关注和对学习者学生的关注，目标更加人文化，更关注学生获得知识的过程以及在学习过程中的经历、感受
7、和体验。数学课堂教学的目标的确定，取决于教师的数学教育价值取向、对学习者的了解以及对数学课程的正确理解把握。,1.更新数学教育观念，是确立有效教学目标的前提,在学校的数学教学活动中，数学课程的目标主要是通过教师的教与学生的学来实现的。数学课程目标不是抽象的目标，而是表现为在数学课程设计与开发过程中具有可操作性的标准。因此，教师要按照标准所提出的基本理念树立新的数学教育观来指导自己的教学。,例:学习有理数的运算法则,数学教育的价值并非单纯地通过积累数学事实来实现，它更多地通过对重要数学思想方法的领悟、对数学活动经验的条理化、对数学知识的自我组织等活动来实现。因此，数学教学应该是“数学活动的过程”
8、，这样的“数学活动”，应该是学生经历“数学化”、“再创造”的过程、是教师帮助学生建构和发展认知结构的过程、是师生的互动共同发展的过程。,教师的数学教育观，会直接影响数学教学目标的方向，从而直接影响数学教学目标能否真正有效体现新课程的目标。,2.全面了解学生，是确立有效教学目标的重要基础,标准指出：“数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础之上”。因此，有效的教学目标的确定应符合学生的心理与学习经验基础，数学教学应该从学生的生活经验和已有的体验开始，根据学生的年龄特点和心理发展规律出发，从直观的、能激发学习积
9、极性的问题入手，让数学背景包含在学生熟悉的事物和具体情景之中，使数学教学的目标更具现实性。,当今的数学教学活动，过多地注重学生的智力发展，超负荷训练的数学教学给学生的数学学习经历留下太多的阴影，从而造成许多“失败者”的心态。有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生学习数学时产生的情感因素密切相关。学生的动机、情感、意志、气质等非智力因素对数学学习和学生的智力开发有着很大的影响，是学生全面发展的重要标志。因此，数学教学活动应当把学生的非智力因素教育作为教学目标之一。,3.准确把握教学任务，是确立有效教学目标的重要保障,数学新课程对教师来说是一个挑战。如何准确理解和把握教学内
10、容的要求已经成为教师在确定教学目标的一个非常重要的任务，隐藏在“课时严重不够”、“学生负担加重”等表象后面的重要原因就是教师在确定教学内容任务与目标的严重偏差。,比如初中数学中许多知识内容有很好的实际生活背景，像“负数、数轴、绝对值、方程应用”等，可以通过适当的生活情境引入、探索交流，但也有很多知识内容，如“代数式、运算法则、公式、定理”等可以开门见山，直奔主题，这样可以使教学活动不用过久地在外围游弋，直达问题的核心，节约时间资源，从而提高课堂教学效率。,（二）课堂引入趣味化“主题情境”教学法,二、实现数学课堂有效性的策略,数学教学为什么要创设主题情境？,德国一位学者有这样一个精辟比喻：将15
11、克盐放在你眼前，你无论如何也难以下咽，但将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你就会在享受佳肴的同时，将15克盐全部都吸收了。情境与知识，犹如汤与盐，盐需溶入汤中，才能被吸收；知识也需要溶入主题情境之中，才能显示出活力和美感。,小飞守角制作,数学教学为什么要创设情境？,著名的数学家华罗庚也曾说：“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎样去找出公式来。”因此，教师无论是在数学教学的整个过程，还是在教学过程中的某个环节，都应该十分重视数学问题主题情境的创设。,而且教师积极营造问题探究的主题情境，能引领学生在探究问题的过程中活化知识，以帮助学生基于自己与世界相互作用的独特经验去建构自己的知识体系
12、，为学生发现新知识创造一个最佳的心理环境和认识知识的理想阶梯。,案例一：认识数学,案例二：不等式的基本性质,案例四：6.1平面直角坐标系（1）,案例三：2.6探索勾股定理（1）,案例五：5.1平行四边形的性质（1）,立 方 根,很久很久以前，希腊提洛斯岛上瘟疫流行，居民恐惧地向岛上的守护神阿波罗祈祷，神说，因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小，边长只有10米，如果你们做一个比它体积大一倍的正方体祭坛放在我面前，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的大家觉得这好办，于是很快做好了一个新祭坛送到神那里，新祭坛的边长是原来的二倍可是神愈发恼怒，他说，你们竟敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来的
13、二倍，我要进一步惩罚你们！,但是，一个不切合实际的、过于花哨的的情境问题不但不能很好的起到应有的作用，相反会影响课堂教学的效率。例如，关于“两点之间连线最短”的概念教学，有的教师设计以下两个“情境”：,情境1：2006年7月1日，世界上海拔最高的铁路青藏铁路全线通车了，如果你乘上这趟列车，你会发现火车穿越了许多隧道，如果你是工程师，你会这样设计吗？为什么？情境2：你认为小狗会走哪条路去吃骨头？为什么？（教材所提供的情境：隔一条小溪，小溪上有一座小桥）,有人说，开始3分钟就基本看到一节课的效果，说明问题情境在实现有效教学过程中的重要性。有效的问题情境应当符合以下要求：（1）符合学生的经验（生活的
14、、数学学习的），能激发学生学习的热情和好奇心；（2）能反映数学本质的；（3）能引发学生思考，并能迅速引入主题。,1.例题教学的地位和作用：(1)例题是学生解题的示范(2)例题是基本概念、基础知识应用的集中体现(3)例题教学是理解、吸收、消化和应用新学的 公式、法则、性质、定理等知识的必要途径(4)例题教学是提高学生兴趣、激发学生思维的 有效手段,（三）讲解例题多变化 提高课堂教学有效性的关键,二、实现数学课堂有效性的策略,（三）讲解例题多变化 提高课堂教学有效性的关键,二、实现数学课堂有效性的策略,例题是数学教材的核心内容，它具有规范性、典型性。通过例题教学不仅可以使学生在掌握新知识的基础上构
15、建新的认知结构，而且能由例及理、由例及法、由例及类，使学生举一反三，触类旁通。,例题教学追求的目标应是：学生易于接受;对学生自我探索帮助较大。,（三）讲解例题多变化 提高课堂教学有效性的关键,二、实现数学课堂有效性的策略,对于每一个具体的例题，在教学中应该使：学生意识到转化；学生积极参与；大多数学生能对老师的思维过程心领神会；少部分不能得出结论的学生也能积极思考，寻求转化的方法。,2.例题教学的方式、方法（1）如何选择与设计例题 1)为理解和巩固新学知识而设计 主要是定理、公式或法则的简单应用，以记忆、模仿为主要形式。例如：学了二元一次方程的概念以后，让学生判断哪些是二元一次方程？哪些不是等。
16、,2）为突出或强调某个定理或方法而设计 例如，学习了两个三角形相似的判定（2）之三边对应成比例的两个三角形相似后，课本设计了例题3：如图，判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由,3）为了综合应用有关知识而设计,直角三角形的复习,平行四边形的复习,中考复习课,2011初中毕业生学业考试绍兴市试卷数学,横向拓展,要想达到“见到图形，想到性质；想到性质，想全性质”就必须把基本图形拿出来认真分析、研究和积累，形成基本图形储备。,万变不离本质，殊途终须同归,1）例题是学生解题的示范,新授课的例题应注重解题的规范性：包括书写格式、定理、性质的应用，做到推理合理，步步有据，同时对学生易错、易漏问题进行设
17、计，并先让学生尝试再加以纠正；,2.例题教学的方式、方法（2）如何开展例题教学,1）例题是学生解题的示范,单元复习课的例题应注重对本单元知识作较系统的整理，对重点内容作适当的拓宽和加深，对本单元中学生易错、易漏问题进行进一步的强化，对与本单元知识有关的内容作科学合理的整合。,2.例题教学的方式、方法（2）如何开展例题教学,综合复习课的例题应突出思路的点拨和归纳，定理、性质在解题中的灵活运用，利用基本图形、基本方法如何寻找解题思路？应强调知识的综合应用，总结解题规律与方法。,2）例题应具有典型性，要充分挖掘例题的教育素材,例如在进行科学计数法的教学时，我结合学校部分学生乱倒剩饭现象日趋严重的现象
18、补充例题如下：,（1）由两名学生测试得，数10粒米需要10秒钟，则数100万粒米需要_秒（用科学计数法表示），若按天计算则需_天；,（2）浙江省在校生约为100万，若每人一天节约1粒米，则一天可以节约_粒米，若100粒米重约2克，则一天可以节约_克米（用科学计数法表示），若按斤算共_斤；,通过计算得全省在校生每人一天节约1粒米可节约40斤米，就是一个人40天的粮食，从而引导学生要爱惜粮食，养成勤俭节约的好习惯.,3）例题教学应注意突出知识的延伸、思维能力的发展,例（九上第11页例1）已知反比例函数 的图象的一支如图所示。判断是正数还是负数；（2）求这个反比例函数的解析式；补画这个反比例函数的另
19、一支。（图略）,反比例函数中k的几何意义,4）例题的设计要有层次，由浅入深，由易到难，逐步提高,例如：2.4 二次函数的应用,主讲二次函数在面积最小化问题上的应用,例1、如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，才能使窗户的透光面积最大（结果精确到0.01米）？,课本例题：,情景建模问题：,问题1.用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？,解：设窗框的一边长为x米，则另一边的长为（4x）米，,又令该窗框的透光面积为y米2，那么：,y=x(4x)(
20、0 x4),又有：a0，则：该函数的图像开口向下，故函数有最大值,而图像的对称轴为直线x=2，而且在自变量的取值范围内,即：y=x24x,所以由求最值公式可知，当 x=2时，该函数达到最大值为4.,答：该窗框的宽和高相等，都为2米时透光面积达到最大的4米2,问题2 用8m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？,问题3 如图，要用总长为8m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？,问题4 如图，要用总长为8 m的铁栏杆，一面靠墙，（墙的可利用长度为2米），围成一个矩形的花圃怎样围法，
21、才能使围成的花圃面积最大？,例已知AD为O的直径，弦AB=AC，求证：AD平分BAC。,）在例题教学中应注意一题多变、一题多问、一题多解，挖掘例题的广度和深度。,证法1：利用直径所对的圆周角是直角，证直角三角形全等；证法2：利用同圆的半径相等，证等腰三角形全等；证法3：利用同圆中等弦的弦心距相等，证直径是角平分线；证法4：利用同圆中等弦对等弧，导出等弧所对的圆周角相等；证法5：利用等圆中等弦所对的圆心角相等来推导。,.O,例如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD/BC，已知B60，AD=15,AB=45,求BC的长.,一题多解,等腰三角形,练习：已知等腰三角形一个底角是70，求其余两角的度数.,
22、变式1.已知等腰三角形的顶角是70，求它的底角的度数.变式2.已知等腰三角形的一个内角是70，求其余内角的度数.变式3.已知等腰三角形的一个内角是100，求其余内角的度数.,一题多变,3.1 圆(1),例1 如图所示，在A地正北60m的处有一幢民房，正西80m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑。,因施工需要，必须在A处进行一次爆破。为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？,一题多变,例1 如图所示，在A地正北60m的处有一幢民房，正西80m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑。,E,变式：若BC是一条马路，且马路上有行人和车辆,在爆破
23、时也不能影响到马路的行人和车辆，那结果又如何呢？,例1：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在O上，求证：B+D=1800,3.4圆周角（1）,变式1：已知:如图,四边形ABCD的四个顶点在O上，A100，点E在BC的延长线上，求DCE的度数。,变式3：如图,在O中，AOC=1200，ACB=250,求BAC的度数。,如图1，在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=2，DAB=45以AB所在直线为x轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系，将等腰梯形ABCD绕A点按逆时针方向旋转90，得到等腰梯形OEFG求：（1）写出C、F两点的坐标.（2）将等腰梯形ABCD沿x轴负半轴平行移动，设移动后的OA
24、=x，如图2，等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG的重叠部分面积为y，当D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的函数解析式.,一题多变,一题多变,矩形,平行四边形,正三角形,1.要根据学生基础和接受能力及教学目标，进行相应变式教学，在变式教学中一定要做到学生“跳一跳摸得到”的原则，一题多变是在学生具有一定基础知识和运用能力的前提下，才可以运用，否则会适得其反。,“一题多变”应注意以下几方面问题：,2.变式教学以调动学习主观能动性为主要目的，充分发挥学生潜能。教师在教学中要引导学生去“变”，让学生在“变”中获得知识，在“变”中提高能力，在“变”中形成良好的数学思维品质。,3.引申题目数量要
25、有“度”，引申过多，不但会加重学生负担和无效劳动，而且会使学生产生逆反心理。变式教学中例题习题的引申方式、形式、内容，要根据教材内容和学生情况来安排，恰当合理变式引申，可使学生一题多解，有助于学生把知识学活，有助于学生产生学习“最佳动机”和激发学生灵感，升华学生思维，培养创新意识。,6）教师在例题教学过程中应关注学生，注意反馈，改进教学 教师在例题教学中一个十分重要的工作就是关注学生在听讲、探究、解题过程中的困惑、思维障碍等，确定解题的难点，采取有效手段加以突破。特别是思维定势的负迁移对学生思维的影响。要防止：,（1）学生在自主探索中，多数学生走过场、一知半解，没有形成解题思路；（2）学生没有
26、带着自己的问题随同老师共同探讨分析，只是一味被动思维。（3）学生的理解停留在例题的表层，没有深入进去，不能举一反三、灵活应用。,7）教师在例题教学过程中应突出探索、暴露思路、强化应用、注重解题后的小结与归纳。,(1)例题教学中应激发学生探索的兴趣和激情，鼓励学生积极参与，大胆想象。(2)例题教学中应进行必要引导，启发学生形成自己的解题思路。(3)在例题的教学上应着重于“应用所学知识”，强调关键点，特别是在一题多解、一题多变等教学时应注重求异思维，提高例题教学的有效性。(4)教师在例题教学中若能进行方法归类、规律小结、技能拓展，将有利于学生知识迁移、举一反三。,例题教学是课堂教学的核心，对教师本
27、身的素质具有较高要求，全体教师应该认真研究试题，研究解题方法和解题策略，不断提高自己的解题能力，只有自己具有较高的解题水平，才能在课堂教学中讲得深、讲得透、讲的活、讲得新。,“概念型”例题，要突出本质属性“基础型”例题，要紧扣定理、法则“技巧型”例题，要突出思路点拨“规律型”例题，要注意归纳综合“综合型”例题，要寻求知识联系“开放型”例题，要立足现实生活,数学课堂教学中，不是不需要训练，相反，我们认为适当的数学训练是形成并巩固数学活动成果的重要的一个环节。但是我们反对超量、过度的训练，过去的“精讲多练”已经不符合现代数学教学的目标。,（四）数学训练科学化 以生为本的根本,二、实现数学课堂有效性
28、的策略,全面正确认识训练的功能是保证有效训练的基础。进行一定量的训练可以促使学生对数学的基本概念、法则、公式定律、性质的进一步理解、掌握、巩固和应用，可以促使学生的计算、解题、画图、测量等基本技能转化为熟练的技能技巧。然而，仅仅把训练的目标定位在这样的层面，就会陷入“题海战术”。我们必须注意到科学训练的更为重要的目标：,（1）发展功能：通过训练，使学生的分析、综合、概括、判断、推理等初步逻辑思维能力由简单向复杂、由低级向高级逐步得到提高，获得数学思想方法，思维品质得到提升；（2）反馈功能：训练可以即时反馈学生学习状况和信息，正确的得到强化，错误的得到纠正，及时调控教学进程。教学质量的保证，在很
29、大程度上依赖于能否获得矫正性的反馈信息，训练正是获得这种信息的重要渠道.,有效的数学训练需要注意以下几个方面：,1.问题的针对性要针对本节课数学的核心问题，准确把握教学目标，突出重点；2.适度的联系性与学生的生活、生产实际，与学生已经学习的相关数学的联系，突出用数学的意识与方法；,4.过程的自主性在学生自主探究、合作交流中及时反馈信息，教师及时进行有效的指导。,3.重视变式练习变式练习是指通过不同形式变换概念的非本质属性，来突出概念的本质属性的练习。,有效的数学训练需要注意以下几个方面：,变式练习能帮助学生从事物的各种表现形式和不同的情景变化中认识事物的本质属性，从而对概念的理解更概括更精确更
30、深刻。它对培养学生思维的深刻性、灵活性、批判性、创造性具有十分重要的作用。,（五）运算能力加强化 数学能力的保障,二、实现数学课堂有效性的策略,运算能力是数学的三大基本能力之一，我国基础教育数学课程一直将运算作为其主要内容，中小学数学教育也一直重视培养学生的运算能力，并取得了许多成绩和宝贵经验。但是学生的运算能力差的问题却依然存在，造成的原因是多方面的，有人怪罪于计算器的普及使用，有人认为是因为考试对计算的过高要求，有人认为目前中学数学教学仍存在着问题,教学过程中，由于一些教师对运算能力的理解不太准确，将其仅仅等同于运算技能，往往将注意力集中在对运算法则的记忆、运算过程的技巧训练上，并常常以自
31、己的“经验”进行传授和模仿，只追求学生算得又快又对而缺少对运算意义的了解以及对算理算法的理解和掌握。,1.运算出错是因为“粗心”吗？,“怎么老是那么粗心？”“做了这么多遍，怎么还是算错？”，这样的话我们经常听到。当学生出现那些“简单的”、“熟悉”甚至“低级”的错误，如果教师简单地归结为学生的“不认真”、“马虎”、“粗心”等，而不好好了解、分析学生产生这些错误的思维过程，光靠日复一日、年复一年的技能训练，学生的运算能力是难以得到提高的。,（1）2+a2为什么错了？,初学代数时，一些学生总认为 2+a 比2大。在这个问题弄清楚后，你再问他“2+a与a哪个大”，他想“再不要上当了，还是分a为正负零来
32、回答吧！”如果教师对这种错误的原因不加以分析，对学生的认识过程不作科学的了解，类似的错误仍然会继续发生。如“a的平方一定比a大”、“一个正数开方后一定变小了”等。,出现这种错误的一个方面原因是学生对“+”的理解问题。认为“+”就是“增加”，“增加”了，于是变大了。这样的“定势”在刚进入初中的学生来说会经常出现。从本质意义上说，这种错误的根源是对运算的意义理解不够。,另一方面是学生对“字母表示数”的概念理解不到位。进入初中阶段，由于数的范围已经扩充到了负数，这里的字母a既可以是正数，也可以表示一个负数。标准提出，“在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义”。由于现实情境中的数量一般是正数，仅仅通
33、过的一些实例难以突破这种思维的定势。,（2）为什么（-3）（-4）=9？,在学习有理数的乘法运算“负负得正”时，一位学生通过计算，得到（-3）（-4）=9的结论。这个结果显然是错误的，教师不假思索就否定了这个学生的结果，并批评这个学生计算不用心。这个结果真的是因为学生不用心吗？课后与这位同学进行了交流，他说：根据乘法法则，-3乘以-4就是按照数轴的反方向的反方向，以3为单位，数4个单位。你看，我从数轴的-3这个位置开始，向正方向数，不是正好数到+9的位置吗？,（-3）（-4）=9并没有全错，至少结果的符号判断是对的，只是该学生对利用数轴判断时的理解上出现了一点偏差。当学生出现运算错误时，有时候
34、教师是需要听一听学生是如何思考的，了解学生运算出现的过程和原因有助于帮助学生认识并及时纠正错误，才能有效促进和提高学生的运算能力。,（3）检验了怎么还错？,一位九年级学生拿了一份刚做好的试卷（作业）来找我，希望我面批一下。我浏览了一下，发现该生在解一元一次方程、一元一次方程组、一元二次方程和分式方程都出现了不同程度的错误。,检验并不只是解分式方程必须的一个过程，虽然在解一元一次方程（组）的最后不需要用文字的形式表示这种过程，但这种检验常常能帮助我们迅速判断结果的真伪。分式方程的检验也不能简单地只看分母的值是否为0，还应该看结果能否满足原方程，用以发现过程是否有错误。这些暴露了我们在教学过程中，
35、只关注一些“技巧”往往会使得学生的思维僵化。,经常算错，是运算能力差的表现，只求细心还不够，还要提高其验算能力并养成良好的习惯和方法。教学过程中，教师应该指导学生正确地进行验算，培养学生自我检查的习惯，形成对自己工作的责任感，从而有根据地深信自己工作的正确性。,2.运算能力的特点及其培养途径,运算能力是一个综合性的能力。它与记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力、以及空间想象等其他认识能力相互渗透、相互支撑着的：学生不能熟记各种数据和公式，就无法正确、迅速地进行各种运算；如果对概念的理解不透彻，或根本不理解，运算必然会陷入盲目性；学生不善推理，就无法选取合理的运算方法，甚至对不合理的运算结果也
36、必然觉察不出；估计能力与空间想象能力常常能帮助学生预测结果，从而也容易纠正不正确的运算结果,对于中学数学运算能力的要求大致以下几个层次：计算的准确性基本要求 计算的合理、简捷、迅速较高要求 计算的技巧性、灵活性高标准要求。运算技能上升到能力的层次，就能把运算的技巧与发展思维融合在一起。,（1）经历过程，理解运算的意义,标准降低了对有理数运算的要求，降低了式的运算和变形的难度和技巧，并不代表现在不需要重视学生运算能力的培养，而是结合时代特点对运算的内涵及其重点进行必要的调整。从基础教育的目标要求来看，重要的不再是计算的熟练程度和技巧，而是对运算意义的理解。,传统的代数课程，给人的印象是公式多。单
37、就乘法公式就有六、七个，如果考虑那些变形，那就更多了。而现在标准只要求两个：平方差公式和完全平方公式。但对其理解的要求更高了：会推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。在教学中。通过学生自己的发现过程，可以体会到数与代数中公式的这一本质。而且如果真的碰到 的话，也会用类似的方法计算或 推导出新的公式。因此最主要的还是对“公式”本身的意义和作用的理解，体会公式的发现和推导过程，懂得怎么应用公式，而不在公式的多少。,（2）讲究策略，优化运算的过程,运算过程可以理解为是根据运算定义及其性质从已知的运算对象推导出结果的过程，因此，运算过程的实质是一种推理过程。例如，1+2+3+99+100
38、=？,加强运算策略的学习，可以避免复杂运算，优化解决问题的过程。在教学中要为学生提供足够的探索和交流的空间，鼓励学生多采用“尝试、猜想、验证”方法去解决问题,（3）学会反思，提高运算的准确性（养成良好的习惯）,论语中有“吾日三省吾身”、“见贤思齐焉，见不贤而内自省”等，都强调了反思在道德修养中的作用。学记中所说“学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也”则是从教学和学习两个方面提出了反思的重要作用。善于反思的人，能不断地矫正错误，科学地设计运算的过程，并提高运算的准确度，逐步养成良好的运算习惯。,1）反思错误的成因,学生计算错误有很多原因，特别是在学生新旧知识之间的符
39、号、表象或概念、命题之间的联系出现编码错误或是产生负迁移。例如，在分式的运算课上我布置了一个题：计算：有一位同学的解法是：,显然该同学的结果错了，出现这样的错误原因是什么呢？在教师的引导下，学生通过分析，认识到这是由于把分式方程变形（去分母）搬到解计算题上了，是思维迁移过程中所产生的负作用所引起的错误。但教师又来了个顺水推舟：刚才这种解法虽然错了，但我们能不能考虑利用分式方程的思路来求解呢？经过大家的讨论，一个新的方法出现了：,学生计算错误是常有的事，教师应充分利用这种教学资源，引导学生客观地研究出错的原因，研究它与正确解法之间的联系，正确利用学生错解中的合理成份，真正发挥错解在教学的正向作用
40、。,2）反思运算的过程,数学教学中，教师不仅要关注学生能否根据法则、公式等正确地进行计算，更要帮助学生理解运算的算理，能够根据题目的条件寻找合理的、快捷的运算途径。例如，运用四则运算法则进行有理数的运算时，在重视计算结果的准确性的同时，更应重视学生计算的合理性、科学性。,以上三种不同的计算过程，所选用的运算性质与计算目标各有不同，可以通过对照计算过程所体现出的不同的运算方法，引导学生体会每一种运算方法所采取的不同策略对结果的获得所带来的影响。,3）反思运算的结果,对计算的结果进行反思，不仅是检验结果正确与否，更重要的是考察结果是否合理，是否符合实际。例如，甲住离学校2千米的地方，已住离学校3千
41、米的地方，他们两个住地相距多远？回答2+3=5或3-2=1对吗？有时，从结果的反思我们还能发现问题设计中的学问。,随着新课程的实施与推进，运算能力已经成为影响学生能力发展的一个相当重要的的一个方面。中学数学教学应该认真倾听学生的思考过程，从中发现出现运算错误的原因，有针对性地加强学生对运算意义的理解，掌握根据问题的需要选择适当的算法和运算工具的方法，培养验证结果的准确性和估算结果的合理性等方面的意识和能力，有效发展学生的运算能力。,朴素的祝愿,愿我们的教师能以教育的爱与智慧将教育中的疲惫、痛苦、厌倦流放，在追求有效教学的路上，以教育的爱与智慧守护属于教育所特有的快乐和幸福，并以我们教师的快乐和幸福赋予孩子们数学学习的快乐和幸福,余姚历山初级中学 景祝君,感谢指导！,
