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1、第4章 交通系统状态描述,交通系统分析,主要内容,排队理论跟驰理论连续流理论车队离散理论,排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论(Random Service System Theory),是一门研究拥挤现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。,前 言,排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如，上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常常出现排队和等待现象。除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现象，如几个顾客打电话
2、到出租汽车站要求派车，如果出租汽车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。,排队的不一定是人，也可以是物例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上的原料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等等。,显然，上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得到某种服务的人或物和提供服务的人或机构。排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”,而把提供服务的机构或人称为“服务台”或“服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务
3、而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统。,面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法减少排队，通常的做法是增加服务设施。但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。于是，顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小，就构成了设计随机服务系统中的一对矛盾。如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾，这就是随机服务系统理论排队论所要研究解决的问题。,排队论是1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.K.Erlang)在研究电话系统时创立的，几十年来
4、排队论的应用领域越来越广泛，理论也日渐完善。特别是自二十世纪60年代以来，由于计算机的飞速发展，更为排队论的应用开拓了宽阔的前景。,排队论研究的基本问题 排队论研究的首要问题是排队系统主要数量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相关的还包括排队系统的统计推断问题。(1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征。(2)统计推断问题，建立适当的排队模型是排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰到如下问题：检验系统是否达到平稳状态；检验顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定服务时间的分布及有关参数等。,(3)系
5、统优化问题，又称为系统控制问题或系统运营问题，其基本目的是使系统处于最优或最合理的状态。系统优化问题包括最优设计问题和最优运营问题，其内容很多，有最少费用问题、服务率的控制问题、服务台的开关策略、顾客(或服务)根据优先权的最优排序等方面的问题。,第一节 排队论的基本知识,服务过程特征1）有要求服务的人或物。如：去食堂就餐的顾客，去医院看病的病人，要求通过交叉口的汽车，请求着陆的飞机等。2）有为顾客服务的人或物。如：食堂服务员，医院大夫，信号交叉口，飞机跑道等，在排队论中，统称它们为“服务员”或“服务台”。由顾客和服务员组成一个服务系统。,3）顾客到达服务系统的时刻是随机的。如：汽车到达交叉口，
6、顾客到达商店等都是随机的。每位顾客需要的服务时间也是随机的，有的服务时间长，有的服务时间短。因而整个服务系统的状态也是随机的。服务系统的随机性造成某个阶段顾客排队长，而某些时候，服务员又空闲无事。,一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。排队过程的一般过程可用下图表示。我们所说的服务系统就是指图中实框所包括的部分。,对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。它们可以是人，也可以是某种物质或设备。排队可以是有形的，也可以是无形的。,排队过程的一般表示,损失制系统 当顾客到达这种服
7、务系统时，若服务员都忙着，则顾客立即离去，另求服务。例如，打电话遇到占线，用户搁置而去；汽车停车场放满时，就立即离去，另找停车场。等待制系统 顾客到达该服务系统时，服务员都在为先到的顾客服务，后到的顾客只好参加排队，等候服务，一直等到有空的服务员来为它服务为止。例如，汽车在通过信号交叉口时，如果遇到红灯，汽车只好在停车线后排队等候，等到绿灯时通过。,服务系统分类,混合制系统 介于前两个系统之间，当顾客到达时，若服务员都不空，他就排队，但如果顾客到达时服务员都不空，且排队位置已满，顾客就立即离去，这是排队长度有限制的服务系统。例如，去理发店理发，当等待理发的位置都满时，后来的顾客只得离去。在混合
8、制中，还有另外一种形式：当顾客到达时，服务员不空，他就排队，等待服务，当顾客等了一段时间后，仍轮不到为他服务，顾客就离开队列，另求服务，这称为排队时间有限制的服务系统。例如，药品、电子元件等过期失效均属此类系统。,服务系统分类,服务系统组成,尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构。,1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。包括：顾客相继到达的时间间隔是确定型的还是随机型的；如：列车是按列车时刻表进站，到站时刻是确定型的；城市信号交叉口，汽车到达交叉口的时刻是随机的。顾客的总体（即顾客源）的组成是无限的还
9、是有限的。如，在道路交叉口，到达车辆的总体可以看成是无限的，而工厂内停机待修的机器显然是有限的。,2）排队规则:（在损失制系统中，没有顾客排队，所以不存在排队问题，这里的排队规则是相对于等待制和混合制系统而言的）,先到先服务（FCFS）：即按顾客到达的先后次序给予服务，这是最普遍的情况。后到先服务（LCFS）：如在情报系统中，最后到达的情报往往是最有价值的，应优先采用；如堆在仓库中的钢板，使用时先用堆在上面的（即后堆上去的）钢板。,随机服务（RSS）：当一个顾客被服务完了之后，服务员从排队的顾客中任取一个，给予服务。如电话交换台接通呼叫电话就是一例。有优先权的服务（PR）：分轻重缓急给予服务。
10、如加急电报要先于普通电报拍发；重病号应先于轻病号医疗等。,3）服务机构：包括为每个顾客服务所需时间的概率分布，服务台的数目以及服务台的排列方式（串联、并联等）。顾客的服务时间一般具有两种形式：一种是每个顾客的服务时间是一个确定量，一种是每个顾客的服务时间是一个随机变量，它服从某一概率分布。对于服务台的排列方式，分单通道与多通道两种。,单通道服务系统,单通道单服务台系统,单通道多服务台串联系统(如装配流水线),多通道服务系统,可通的多通道系统,不可通的多通道系统,多通道混合系统,排队模型的表示方法,在1953年提出了一个分类方法，按照系统的三个最主要的、影响最大的三个特征要素进行分类，它们是：顾
11、客相继到达的间隔时间分布、服务时间的分布、并列的服务台个数。按照这三个特征要素分类的排队系统，用符号（称为Kendall记号）表示为 X/Y/Z其中X处填写顾客相继到达的间隔时间分布，Y处填写服务时间的分布，Z处填写并列的服务台个数。例如M/M/1，表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布、单服务台的模型。,后来，在1971年关于排队论符号标准化的会议上决定，将Kendall符号扩充为：X/Y/Z/A/B/C 其中前三项意义不变。A处填写系统容量限制;B处填写顾客源中的顾客数目;C处填写服务规则（如先到先服务FCFS，后到先服务LCFS）。表示相继到达间隔时间和服务时间的各
12、种分布的符号为：M-负指数分布；D-确定型分布；Ek-k阶爱尔朗分布；GI-一般独立随机分布；G-一般随机分布。,服务系统的运行指标,对于一个排队系统，运行状况的好坏既涉及到顾客的利益，又涉及到服务机构的利益，还有社会效果好坏的问题。为了研究排队系统运行的效率、估计服务质量、研究设计改进措施，必须确定一些基本指标，用以判断系统运行状况的优劣。下面介绍几种常用的指标。,1)队长：把系统中的顾客数称为队长，它的期望值记作Ls。而把系统中排队等待服务的顾客数称为排队长（队列长），它的期望值记作Lq。显然有 队长排队长正被服务的顾客数。,2)逗留时间：一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留时间称
13、为逗留时间，它的期望值记作Ws。一个顾客在系统中排队等待的时间称为等待时间（或排队时间），它的期望值记作Wq。显然有 逗留时间等待时间服务时间。3）忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲止的时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。,研究目的：通过对排队系统中概率规律的研究，使系统达到最优设计和最优控制，以最小费用实现系统的最大效益。,第二节 顾客到达分布和服务时间分布,泊松分布负指数分布,泊松(poisson)输入，又称最简单流。满足下面3个条件的输入称之为最简单流。(1)平稳性。又称作输入过程是平稳的，指在长度为t的时段内恰好到达k个顾客的概率仅与时段长度有关，而与时段起点无关。
14、即对任意(0,)，在(,+t或(0,t)内恰好到达k个顾客的概率相等。,(2)无后效性。指在任意几个不相交的时间区间内，各自到达的顾客数是相互独立的。通俗地说就是以前到达的顾客情况，对以后顾客的到来没有影响。否则就是关联的。(3)单个性又称普通性。指在充分小的时段内最多到达一个顾客。在一个充分小的时间间隔里不可能有两个或两个以上的顾客到达，只能有一个顾客到达。换句话说，有两个或两个以上的顾客到达的概率与有一个顾客到达的概率相比小到可以忽略的程度。因为泊松流实际应用最广，也最容易处理，因而研究得也较多可以证明，对于泊松流，在长度为t的时间内到达K个顾客的概率vk(t)服从泊松分布，即,如果顾客的
15、到达过程（在确定的时间区间内到达的顾客数）服从最简单流，则顾客的到达时间间隔服从参数为 的负指数分布。如果顾客的服务过程（即离开服务台的过程）服从最简单流，则顾客的服务时间服从参数 的负指数分布。从本质上看，泊松分布与负指数分布是同一个过程的不同表现形式。,第三节 生灭过程,研究系统内部状态变化的过程,系统状态i,状态i+1,状态i-1,在t时刻内发生两个或两个以上事件的概率为O(t),一个事件,一个事件,一、生灭过程定义,t0，O(t)0,系统具有0,1,2,个状态。在任何时刻，若系统处于状态i，并且系统状态随时间变化的过程满足以下条件，称为一个生灭过程：,1、在（t,t+t）内系统由状态i
16、转移到状态i+1的概率为it+O(t)平稳性条件,t内有一个顾客到达的概率,2、在（t,t+t）内系统由状态i转移到状态i-1的概率为it+O(t)平稳性条件,t内有一个顾客离开的概率,3、在（t,t+t）内系统发生两次以上转移的概率为O(t)，即有2个以上顾客到达或离开的概率为,普遍性条件,只要排队系统的输入过程和服务过程符合泊松分布，排队过程符合生灭过程,二、生灭过程状态转移图,状态,顾客到达率,系统服务率,t时，Pi(t)趋向于常数：系统达到稳定,系统达到稳定后：每个状态转入率的期望值与转出率的期望值相等。,对于状态i：转出率的期望值为,转入率的期望值为,P0,P1,P2,Pi,有,对于
17、S0,转入,转出,转出,转入,对于Sk,P0,P1,P2,Pi,状态转移方程,求解该方程，可以获得各状态对应的概率,对于S0,对于S1,依次类推,且有,例：,某排队系统：M/M/1/3/FCFS，=2，=3。求解各状态对应的概率。,首先，做出相应的状态转移图,对于S0,对于S1,对于S2,生灭过程求解排队系统各状态概率过程,建立状态转移图,建立状态转移方程,求解状态转移方程,各状态转入率期望值与转出率期望值相等,各状态概率,第三节 M/M/1排队系统,顾客到达服从泊松分布顾客到达率为服务过程服从泊松分布（负指数分布）系统服务率为单通道，先到先服务,最简单的M/M/1排队系统：,M/M/1/,M
18、/M/1/m/,M/M/1/排队系统,系统容量无限、顾客源无限,最基本的排队系统,排队过程为生灭过程,列状态转移方程组求各状态概率,M/M/1/排队系统各状态概率归结为无穷等比数列求和,1，数列收敛,P0=1-,1，数列发散,系统稳定,系统不稳定,称为服务强度，若服务强度大于1，说明单位时间内到达的顾客数比完成服务的顾客数多，系统中排队长度越来越大，产生阻塞。,利用排队系统各状态概率计算运行指标,1、队长系统中的顾客数量,队长,2、排队长系统中等待的顾客数量,通道数,3、逗留时间顾客在排队系统中的总时间,李太勒公式,前后2名顾客到达系统的时间间隔,4、排队时间顾客在排队系统中的等待时间,李太勒
19、公式,前后2名顾客到达系统的时间间隔,M/M/1/m/排队系统,系统容量有限、顾客源无限,列状态转移方程组求各状态概率,并不要求1。,特别地，当=1时，P0=1/(m+1),(1),利用排队系统各状态概率计算运行指标,1、队长系统中的顾客数量,队长,2、排队长系统中等待的顾客数量,通道数,3、逗留时间顾客在排队系统中的总时间,李太勒公式,前后2名顾客到达系统的时间间隔,有效到达率e,当排队长度未满容量时，平均到达率为当排队容量已满容量时，平均到达率为0,逗留时间,4、排队时间顾客在排队系统中的等待时间,李太勒公式,前后2名顾客到达系统的时间间隔,顾客的到达是服从参数的泊松分布；顾客的服务时间是
20、服从参数为的负指数分布；有S个服务台，顾客按到达的先后次序接受服务。,第四节 M/M/S排队系统,当顾客到达时，若有空闲的服务台就立即接受服务，若所有的服务台都忙着，则顾客排成一个队列等待服务。,常见的M/M/S/及M/M/S/m/两类,M/M/S/排队系统标准M/M/S系统,系统中个服务台的服务率均为，于是整个服务机构的最大服务率为S。与M/M/1/系统类似，只有当 时，才能使服务系统达到稳态而不排成无限的队列。,系统的服务强度,当系统中只有一个顾客时，则有S-1个服务台空闲着，仅一个服务台在服务，这时的服务率为，当系统有2个顾客时，就有2个服务台工作，其服务率为2，当系统中有S个顾客时，则
21、服务率达到最大值S，当系统中的顾客数超过S时，由于个服务台都忙着，其余顾客必须排队，这时的服务率仍为S,M/M/1系统,M/M/S系统,M/M/S系统,根据正则条件,利用排队系统各状态概率计算运行指标,1、排队长,2、平均等候时间,3、逗留时间,、平均顾客数,系统容量受限制、顾客源无限、先到先服务的M/M/S系统。该系统共有m-S个位置可供顾客排队。当顾客到达时，若系统饱和，即服务台都忙着，排队位置已排满，则后到的顾客立即离去，另求服务。因此，该系统中只可能有m+1个状态。,M/M/S/m/排队系统,与M/M/S/系统的推导类似，可得M/M/S/m/系统的状态指标及运行指标。,第五节 排队服务
22、系统的最优化问题,排队系统设计最优化的目标在于使系统设施达到最大使用效益，或者说，在一定的质量指标下要求服务机构最为经济一般要求系统最优,对于顾客来说，总是要求提高服务水平（如增设服务台数、加快服务时间）以减少排队费用，若要完全满足顾客的要求，则会导致服务机构过大，使用效率降低，造成浪费。从服务机构来说，总是希望服务机构能达到最高的使用效率，每个服务台都不出现空闲状态，这必然导致顾客等候费用的增加，影响顾客的利益。排队系统最优化的目的是综合考虑两者的利益，使二者费用之和为最小，确定达到这个目标的最优服务水平。另一常用的目标函数是使系统的纯收入（服务收入与服务成本之差）为最大,排队服务系统的最优
23、化问题通常归结为求极值问题,求导（求偏导）迭代法 试算法,常用的求极值方法有：,例3 某收费公路处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭收费。收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆汽车的交费时间为7.2s，汽车的到达率为400辆/h，并服从泊松分布，试求：,收费亭空闲的概率：收费亭前没有车辆排队的概率；收费亭前排队长队超过100m（即排队车辆超过12辆）的概率；平均排队长度；车辆通过收费亭所花费时间的平均值；车辆的平均排队时间。,解：,收费亭空闲的概率：也就是系统中没有车辆到达的概率。,没有车辆排队的概率当系统中没有车辆或只有一辆车（这辆车正在被服务）时，便没有车辆排队。,排队车辆超过12辆
24、的概率 也就是系统中车辆超过13辆的概率；,平均排队长度；,车辆通过收费亭所花的平均时间；,车辆的平均排队时间,例4 某市区有一加油站为汽车加油。站上服务台平均36s时间处理一辆汽车，加油 时间服从负指数分布，汽车到加油站加油的到达率为80辆/h，并服从泊松分布。当要等候加油的汽车超过10辆(即排队长度超过80m，不包括正在加油的汽车）时，将影响加油站附近街道的正常交通，因而规定排队汽车不得超过10辆，试求：,加油站空闲的概率：汽车来加油但因排队已满而被拒绝的概率；在系统中的平均顾客数；平均排队长度；汽车在整个加油过程中所花的时间；汽车排队等候时间。,解：,加油站空闲的概率：也就是系统中没有车
25、辆到达的概率。,汽车来加油但因排队已满而被拒绝的概率汽车被拒绝的概率，就是系统饱和时的状态概率：,在系统中的平均顾客数；,平均排队长度；,汽车在整个加油过程中所花的时间；,汽车排队等候时间,例5 某汽车修理服务站，前来修理的车辆是随机到达的，到达率为4辆/h，每辆汽车在站上修理的持续时间平均为0.5h，并服从负指数分布。该站有5个修理服务台可供修理，试求该服务站的运行指标。解：,无来车修理的概率：也就是所有服务台均空闲的概率。,修理站前不出现汽车排队的概率当在修理站修理的汽车不超过5辆时，就不会出现排队现象。,不出现排队现象的概率为：,修理站前平均排队长度；,整个系统的车辆平均数；,汽车排队等
26、候修理所花费时间,出现排队的概率；,汽车在整个修理过程中所花费时间,例6 某主要道路与次要道路相交的无控交叉口，两条道路上的车流到达过程符合泊松分布。把车辆通过交叉口看成是车辆接受了服务，那么次要道路上排队车流中第一辆车为正在接受服务的顾客，第一辆车从到达停车线到通过交叉口的时间就是服务时间，它与主路车流的车头时距分布有关，当主路车流符合泊松流时，次路车辆的服务时间总是服从负指数分布。在次路车流中，从第二辆起的汽车即为排队等候服务的顾客。因此，该交叉口系统就是一个标准的M/M/1系统。设次路车流的交通量为350辆/h，次路车辆从到达停车线到通过交叉口的平均服务时间为10s。试求系统的运行指标。
27、,解：,交叉口没有车辆的概率。,交叉口前排队车辆(包括正等待通过的第一辆车)超过50辆的概率。,交叉口前的平均排队车辆数(包括第一辆)；,车辆从到达停车线到通过交叉口所需平均时间；,从这些指标可以看出，交叉口前约有97的时间出现排队，平均排队长度达35辆，约有24的时间排队长度超过50辆，车辆在交叉口前平均需要排队6min，阻塞相当严重，应予以改善。如拓宽进口，设置两条平行的进口道，或设置交通信号灯。,例7 某收费公路入口处，设有3个收费亭，收费亭前的排队引道可考虑两种方案。方案1为车辆到达后排成一队，依次向任一空闲的收费亭缴费进入公路，方案2为车辆到达后在3个收费亭前排成三队，中间设有分隔带
28、。设3个收费亭服务率相同，平均10s处理一辆车，车的到达率为900辆/h。比较两种排队系统的运行指标。,解：,收费亭空闲的概率。,车辆必须排队的概率。,排队的平均车辆数,整个系统的平均车辆数；,汽车的平均排队时间；,汽车通过收费亭所用时间,每个子系统中,收费亭空闲的概率。,车辆必须排队的概率。,排队的平均车辆数,整个系统的平均车辆数；,汽车的平均排队时间；,汽车通过收费亭所用时间,两种方案的指标比较,例8 一加油站，今有2400辆/h的车流量通过4个通道引向4个加油泵，平均每辆车加油时间为5s，服从负指数分布，试按多路多通道系统（4个M/M/1系统）单路多通道系统（M/M/4系统）计算各相应指
29、标。解：按4个M/M/1系统由题意可知：,按单路多通道系统M/M/4计算：,两种系统比较,主要内容,排队理论跟驰理论连续流理论车队离散理论,跟驰理论是运用动力学方法，研究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态，并且借数学模式表达并加以分析阐明的一种理论。由于有1950年鲁契尔的研究和1953年派普斯的研究，跟驰理论的解析方法才告定型。而赫尔曼和罗瑟瑞于1960年在美国通用汽车公司动力实验室进行的研究为跟驰理论作了进一步的扩充。,车辆跟驰特性分析,在道路上行驶的一队高密度汽车，车间距离不大，车队中任一辆车的车速都受前车速度的制约，驾驶员只能按前车所提供的信息采用相应的车速。
30、这种状态亦称为非自由行驶状态。跟驰理论只研究非自由行驶状态下车队的特性。非自由行驶状态的车队有以下三个特性：1制约性2传递性3延迟性,1、制约性 在后车有“紧随要求”的前提下，前车车速制约着后车车速和两车间距，后车运动状态随前车运动状态的改变而改变。“紧随要求”、“车速条件”、“间距要求”构成了跟驶行驶的制约性。2、传递性 车流中某一车辆运行状态的改变，会一辆接一辆的向后连续影响，即这种影响具有传递性。3、延迟性（滞后性）前、后车运行状态的改变不是同步的，后车总是在前车运行状态改变后，过一段时间（反应时间）才能作出相应的动作。,线性跟驰模型,跟驰模型是一种刺激反应的表达式。一个驾驶员所接受的刺
31、激是指其前方导引车的加速或减速以及随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的变化；该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地跟踪前车所作的加速或减速动作及其实际效果。假定驾驶员保持他所驾驶车辆与前导车的距离为s(t)，以便在前导车刹车时能使车停下而不致于和前导车尾相撞。设驾驶员的反应时间为T，在反应时间T内，车速不变，设n为前导车，nl为后随车。这两辆车在t时刻的相对位置以及两车在刹车操作后的相对位置如图所示。,线性跟车模型示意图,线性跟驰模型,上式是在前导车刹车、两车的减速距离相等以及后车在反应时间T内速度不变等假定下推导出来的。实际的跟车操作要比这两条假定所限定的情形复杂得多。比方说，刺激
32、也可能是由前车加速而引起的。而两车的变速过程中行驶的距离可能不相等。为了适应更一般的情形，把上式修改为：,式中 称为反应强度系数，量纲为，这里 不再理解为敏感度，而应看成是与驾驶员动作的强弱程度直接相关。上式表明后车的反应与前车发出的刺激成正比，此公式称为线性跟车模型。,线性跟驰模型的稳定性,交通稳定性有两方面含义:一方面是指前后两车的速度大致相等，车间距离大体保持某一常数值，这称为局部稳定性。局部稳定性关注的是跟驰车辆对它前面车辆运行波动的反应，即关注车辆间配合的局部行为。另一方面是指在车队中某车的速度变化向其后各车传播的特性，如果速度变化的振幅在传播过程中扩大了，叫做不稳定，如果振幅逐渐衰
33、弱，则称为渐进稳定。渐进稳定性关注车队中每一辆车的波动特性在车队中的表现，即车队的整体波动特性。对于稳定性的研究有助于解释引起追尾事故和交通阻塞的原因，同时也可用于对隧道和瓶颈路段车流特性的分析。,局部稳定性,定义：C=T，称为反映车头间距变化的特征参数。（认为车头间距的变化与反应时间和反应强度大小有关）,渐进稳定性,无论车头间距为何初始值，如果发生增幅波动，那么在车队后部的某一位置必定发生碰撞。可以通过分析跟驰模型的数值解可以确定碰撞发生的位置。分析判断波动是增幅还是衰减的标准，也即渐进稳定性标准。,渐进稳定性,渐进稳定性的判定标准把两个参数确定的区域分成了稳定和不稳定两部分。,跟驰模型研究
34、进展,主要内容,排队理论跟驰理论连续流理论车队离散理论,将交通流比拟为液体流，把车流密度的疏密变化比拟成水波的起伏而抽象为车流波。当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播。又称为车流波动理论。流体力学模拟理论是一种宏观的模型，它假定在车流中各单个车辆行驶状态与前面的车辆完全一样，这与实际是不相符的。但在分析瓶颈路段的车辆拥挤问题时还是很有用。,车流连续性方程,假设车辆顺次通过断面I和II的时间间隔为t，两断面的间距为x。车流在断面I的流入量为q，密度为k。车流在断面II的流出量为(q+q)，密度为(k-k)。k前面加一负号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加
35、而减小。,根据物质守恒定律：流入量-流出量x内车辆数的变化，即：,或：,取极限可得：,又：,故：,上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则随时间而增大。,交通流回波现象,车流波动理论 交通车流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形式路段，车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流方向相反的波，好像声波碰到障碍物时的反射一样，阻止车流前进，降低车速。,1、集散波的定义 列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后，即陆续停车排队而集结成密度高的队列；绿灯启亮后，排队的车辆又陆续起动而疏散成一列具有适当密度的车队。车流中密度经过了由低到高，再由高到低两个过程，车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队
36、后部传播的现象，称为车流的波动。车流波动沿道路移动的速度，称为波速。,车队运行状态变化图为在时间-空间坐标系下表示的一队n辆车的运行状态变化图。图中每根曲线表示一辆车运行的时间空间轨迹，曲线间的水平距离表示车头时距，垂直距离表示车头间距，两条虚线分隔出I、II和III三个时间空间区域。在区域I内，车速最高而密度最低。进入区域II后，车速明显降低而密度明显升高。进入区域III后，速度有所回升而密度有所下降。虚线与运行轨迹的交点就是车队密度不同的两部分的分界(对某一确定时刻而言)，而虚线则表示此分界既沿车队向后一辆辆地传播下去，又沿着道路而移动，虚线的斜率就是波速。虚线AB是低密度状态向高密度状态
37、转变的分界，它所体现的车流波称为集结波；而AC是高密度状态向低密度状态转变的分界，它所体现的车流波称为疏散波，两种不同的车流波可统称为集散波。,车队运行状态变化图,2、波速（集散波集结和消散的速度）这个车队从速度V1、密度K1，(对应于车间距离l1)转变到速度V2、密度K2(对应于车间距离l2)。O为第一辆车的变速点，A为第二辆车的变速点、虚线OA的斜率就是集散波的波速。设变速点A的时刻为t，位置为x，则：,故集散波从第一辆车传到第二辆车所需时间为:,车队前三辆车运行轨迹,t,x,V1t,V2t,如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近，则：,波速:,集散波总是从前车向后车传播的，把单位时间
38、内集散波所掠过的车辆数称为波流量。,在流量密度相关曲线上，集散波的波速就是割线的斜率、微弱波（流量和密度非常接近）的波速就是切线的斜率。如图所示，当车流从低密度低流量的A状态转变的高密度高流量的B状态时，集散波的波速是正的，即波沿道路前进。当车流从低流量高密度的C状态转变到高流量而密度较低的B状态时，集散波的波速是负的，即波沿道路后退。从A状态到B状态的波是集结波。而从B状态到A状态的波是消散波，两者都是前进波。从B状态到C状态的波是集结波，从C状态到B状态的波为消散波，两者都是后退波。,车辆波动图,车流波动理论的应用 例1：知某快速干道上车流速度(KM/h)与密度(辆/KM)具有：之关系。现
39、知一列u1=50KM/h的车流中插入一u2=12KM/h的低速车，并不能超车而集结形成速度为u2拥挤车流。此低速车在行驶2KM后离去，拥挤车队随之离散形成具有速度u3=30KM/h的状态。试求:1拥挤车队消散的时间ts；2拥挤车队持续的时间tj；3拥挤车队最长时的车辆数Nm；4拥挤车辆的总数N；5拥挤车辆所占用过的道路总长度L；6车流速度从Vl降低至V2而延误的总时间T。,解：把车流经历的疏散一密集一疏散这三个阶段的状态记为状态l、2、3，相应的流量、速度、密度分别记为Qi，ui，Ki；i1，2，3。则由已知车流模型可算出：Q1=1000，u1=50，K120 Q2=1200，u2=12，K2
40、100 Q3=1500，u3=30，K350由状态1转变到状态2形成集结波，记其波速为wl由状态2转变到状态3形成消散波，记其波速为w2,车辆运行时间-空间轨迹图,受拥挤的N辆车的时间空间运行轨迹线如图中的N条折线所示。虚线OB的斜率等于w1，虚线AB的斜率等于w2，以xB、tB表示图中B点的空间坐标和时间坐标，其它各点亦然。从图看出，从t0到tA，拥挤车队愈来愈长，最长时占路长度等于xA-xc，过了时刻tA，拥挤车队愈来愈短，到时刻tB拥挤完全消除，很自然应把时段tB-tA称为消散时间ts.由于N条折线的斜率表示车速，易得,由图可知拥挤车队从A点开始消散，所以落在路段AC上的车数就是拥挤车队
41、最长时的车数Nm，它等于波wl在时段tc-t0内掠过的车数，根据波流量公式，可得：,又：,解得：,所以：,w1掠过的车辆总数就是拥挤过的车辆总数N。由图可知拥挤车辆所占用过的道路总长度L即AD长。LLAD2Km由于表示车辆行驶轨迹的各折线是分段等距平行的，不难得知遭遇拥挤的那些辆车的延误构成等差级数，于是总延误D的计算为:,例题2：一条单向道路的一端伸进学校与居住区中，在此路段中车速限制为13Km/h，对应的通行能力为3880辆小时，高峰是从上游驶来的车流速度为50Km/h，流量为4200辆小时，高峰持续了1.69小时，然后上游车流量降到1950辆小时，速度为59Km/h。是估计此路段入口的上
42、游拥挤长度和拥挤持续时间。解：高峰时上游车流密度：居住区路段上的密度：在这两股车流之间形成了一集结波其波速为：,车辆运行时间-空间轨迹图,这是一后退波，表示居住区路段入口处向上游形成一列密度为298 辆Km的拥挤车流队列。图中tF-tH=tE-t0=1.69，则tE=1.69小时，OF为W1的轨迹。在F处高峰流消失，出现流量为1950辆小时，速度为59Km/h的低峰流。,集结波波速：,它的轨迹为FG,根据时间-空间轨迹图可获得如下方程组：,即拥挤流向上游延长的距离为2.453km，共包含车辆为：2.453298731辆。集结波W2推进到G的历时为：,则拥挤持续的时间为：,主要内容,排队理论跟驰
43、理论连续流理论车队离散理论,从上游交叉口停车线始发的车流，一般是以车队形式驶出交叉口的。车队从上游交叉口停车线驶出后，由于其中所包含的车辆行驶速度存在差异，在到达下游交叉口停车线之前，便渐渐拉开距离，即发生车队“离散现象”。,车队离散模型派西正态分布,其中：下游某断面上，第j个时段的车流到达 率；上游停车线断面，第i个时段的车流 通过率；从上游停车线断面到下游某断面，行 驶时间为（ji）的车辆概率分布函数,其中：车辆行驶时间；下游某断面与上游停车线的距离；车流的平均行驶速度；车流中不同车辆所具有的行驶速度 的标准差。,按照G.M.Pacey的扩散理论，车辆行驶时间的概率分布为一种变换了的正态分布函数，即:,车队离散模型罗伯逊几何分布,其中：第(i+t)时段，下游某断面上预计的 车辆到达率；第i时段，上游停车线断面的车辆通 过率；上述两个断面之间，车辆平均行驶时 间的0.8倍；表示车流在运动过程中离散程度大 小的一个系数，称作车流离散系数。,行驶时间概率分布对比,平均延误时间对比,Thank you for your listening!,
