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1、,一阶微分方程的,一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,变量代换法,代换因变量,代换某组合式,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,代换自变量,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,(2)这是一个齐次方程，,令 y=u x,化为分离变量方程:,方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,例2.求下列方程的通解:,提示:(1),令 u=x y,得,(2)将方
2、程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,令 y=u t,(齐次方程),令 t=x 1,则,可分离变量方程求解,化方程为,例3.,设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(2003考研),(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,例4.设河边点 O 的正对岸为点 A,河宽 OA=h,一鸭子从点 A 游向点,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.,设时刻t 鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b,求鸭子游动的轨迹方程.,O,水流速度大小为 a,两岸,则,关键问题是正确建立数学模型,要点:,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,(自己求解),(齐次方程),
