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1、学案2 两直线的交点坐标与 距离公式,返回目录,一、两直线的交点 已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0,的解，,考点分析,其中当A1B2-A2B10时,两条直线，当A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C10（或B1C2-B2C10）时,两条直线无交点,即，当A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点,即.二、距离公式 1.两点间的距离 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=.2.点到直线的距
2、离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d=.,返回目录,相交于一点,平行,重合,返回目录,3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：(1)求一条直线上一点到另一条直线的距离.(2)设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则d=.,返回目录,已知直线l1:(m+3)x+4y=5-3m,l2:2x+(m+5)y=8,问m为何值时:l1l2;l1与l2重合;l1与l2相交;l1与l2垂直.,【分析】利用两直线平行、重合、相交、垂直的条件求解.,考点一 两直线位置关系的判定,题型分析,返回目录,【解析】由，得m=-7,当m=-7时
3、,l1l2.由，得m=-1,当m=-1时，l1与l2重合.由，得m-1且m-7,当m-1且m-7时，l1与l2相交.由(m+3)2+4(m+5)=0,得m=-,当m=-时，l1与l2垂直.,返回目录,【评析】（1）垂直有两种情况：一种是一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在；另一种就是斜率都存在，且两个斜率的积为-1.（2）两条直线平行有两种情况，一种就是斜率都不存在；另一种就是斜率都存在并且相等.（3）两条直线重合即方程是相同的.,对应演练,已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m,n的值，使（1）l1与l2相交于点P(m,-1);（2）l1l2;（3）l1
4、l2，且l1在y轴上的截距为-1.,返回目录,（1）m2-8+n=0,且2m-m-1=0,m=1,n=7.（2）由mm-82=0，得m=4,由8(-1)-nm0,得n2,即m=4,n-2时，或m=-4,n2时，l1l2.（3）当且仅当m2+8m=0，即m=0时，l1l2，又-=-1,n=8.即m=0，n=8时,l1l2，且l1在y轴上的截距为-1.,返回目录,返回目录,已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1：x+y+1=0，l2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.,考点二 距离公式的应用,【分析】可设点斜式方程，求与两直线的交点.利用两点间距离公式求解.,【解析】解法一：若直
5、线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1，l2的交点分别是 A（3，-4），B（3，-9），截得的线段长|AB|=|-4+9|=5，符合题意.,若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，分别与直线l1，l2的方程联立,y=k(x-3)+1 x+y+1=0,y=k(x-3)+1 x+y+6=0,由两点间的距离公式,得()2+()2=25,解得k=0,即所求直线方程为y=1.综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.,返回目录,由,由,A().,解得,B(),解得,解法二：设直线l与l1，l2分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2
6、+6=0，两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5，又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25，x1-x2=5 x1-x2=0 y1-y2=0 y1-y2=5.由上可知，直线l的倾斜角分别为0和90.故所求的直线方程为x=3或y=1.,返回目录,或,联立可得,返回目录,【评析】这类题一般有三种情况：被两已知平行直线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距离时无解.当a=d时有唯一解；当ad时有且只有两解.本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交点坐标，利用整体思想求解.,返回目录,对应演练,解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知即
7、|3k-1|=|-3k-3|,k=-.直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，也符合题意.,求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离相等的直线l的方程.,解法二:当ABl时,有k=kAB=-，直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当l过AB的中点时，AB中点坐标为（-1,2）,直线AB的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.,返回目录,返回目录,求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.,考点三 对称问题,【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组
8、求解.,y=2x+3 y=x+1(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点=-1 x1=2 y1=1,即B(2,1).l2的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0.,返回目录,得直线l1与l2的交点坐标为,【解析】解法一:由,B(x1,y1)一定在l2上,由,得,解法二:设所求直线上一点P(x,y),则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称.由题设:直线PP1与直线l垂直,且线段PP1的中点P2()在直线l上.1=-1 x0=y-1,y0=x+1,代入直线l1:y=2x+3得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所求直线方程为x-2y=
9、0.,返回目录,变形得,y=2x+3 y=x+1 设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,由点到直线的距离公式得解得k=(k=2舍去),直线l2的方程为x-2y=0.,返回目录,解法三:由,知直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),返回目录,【评析】(1)对称问题是解析几何中的一个重要题型,是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决.求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q(x1,y1)的坐标,可利用PQl及线段PQ被l平分这两个条件建立
10、方程组求解,本题解法二就是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题的.这是解这类问题的一个通法.(2)两点关于点对称、两点关于直线对称的常用结论：点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y);点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y);点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y);点(x,y)关于直线x-y=0的对称点为(y,x);点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x).,返回目录,对应演练,已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是（）A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0
11、,B（l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点（1，0）在l2上.又易知（0，-2）为l1上一点，设其关于l的对称点为（x，y），则-1=0，x=-1，=-1,y=-1.（-1，-1）为l2上两点，可得l2的方程为x-2y-1=0.故应选B.）,返回目录,得,即（1，0），,返回目录,考点四 直线系方程的应用,求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.,【分析】(1)先求出直线l1与l2的交点,然后利用点斜式求出直线方程.(2)可利用垂直直线系方程求解.,返回目录,【解析】解法一
12、:先解方程组3x+2y-1=05x+2y+1=0,得l1,l2的交点(-1,2),再由l3的斜率为 求出l的斜率为-,于是由直线的点斜式方程求出 l:y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.,解法二:ll3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条直线,而l过l1,l2的交点(-1,2),故5(-1)+32+C=0,由此求出C=-1.故l的方程为5x+3y-1=0.解法三:l过l1,l2的交点,故l是直线系 3x+2y-1+(5x+2y+1)=0中的一条,将其整理,得(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0.其斜率,解得=,代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.,返回目录,解法四
13、:ll3,故l属于直线系5x+3y+C=0,又l过l1,l2的交点,故l又属于直线系(3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0.则,是同一直线,必有 又C=-1,代入即得l的方程为5x+3y-1=0.,返回目录,由等比定理,得,【评析】(1)解法一是通法通解,用了求交点及两直线垂直时斜率之间的关系求出斜率,然后利用点斜式求出方程.解法二与解法三比较灵活,用了垂直和相交的直线系方程,运算较简捷.(2)常见的直线系方程:与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(mR且mC).与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(mR).过直线l1:A1x+B1y+C
14、1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(是实数),但不包括l2,应用直线系方程可比较快捷地求出与已知直线平行或垂直的直线方程,利用直线系方程可解决与相交和过定点有关的问题.,返回目录,对应演练,过两直线7x+5y-24=0与x-y=0的交点,且与点P(5,1)的距离为 的直线的方程为.,3x-y-4=0(设所求的直线方程为7x+5y-24+(x-y)=0,即（7+）x+(5-)y-24=0.,解得=11.故所求直线方程为3x-y-4=0.),返回目录,考点五 直线中的最值问题,在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(
15、1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.,返回目录,【分析】设B关于l的对称点为B,AB与l的交点P满足（1）;C关于l的对称点为C,AC与l 的交点Q满足(2).事实上,对于(1),若P是l上异于P的点,则|PA|-|PB|=|PA|-|PB|AC|=|QA|+|QC|.,返回目录,【解析】(1)如图所示,设点B关于l的对称点B的坐标为(a,b),则kBB kl=-1,即3=-1.a+3b-12=0 又由于线段BB的中点坐标为(,),且在直线l上,3-1=0.即3a-b-6=0 解得a=3,b=3,B(3,3).于是AB的方程为,
16、即2x+y-9=0.3x-y-1=0 x=2 2x+y-9=0,y=5,即l与AB的交点坐标为P（2，5）.,返回目录,解,得,(2)如图所示,设C关于l的对称点为C,求出C的坐标为().AC所在直线的方程为19x+17y-93=0,AC和l交点坐标为(),则P点坐标为().,返回目录,【评析】(1)在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之和最小.当两定点A,B在直线l异侧时,由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知,点P为AB连线与l的交点;点P到两定点距离之和的最小值为|AB|的长度,如图.|PA|+|PB|AB|=|PA|+|PB|.当且仅当A,B,P三点共线时等式成立.
17、,返回目录,当两定点A,B在直线l的同侧时,作点A关于直线l的对称点为A.连结AB交直线l于点P,则点P到两定点A,B的距离之和最小.(2)在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之差的绝对值最大.,返回目录,当两定点A,B在直线l的同侧时(AB连线与l不平行),连结A,B两点所在的直线,交直线l于点P.如图,在l上任取一点P,则有 当|PB|-|PA|AB|=|PB|-|PA|,当P与P两点重合时,等号成立,最大的值为|AB|.重合时,等号成立,最大值为|AB|.,当两定点A,B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的对称点A,连结AB,交l于点P,如图可知,|PB|-|PA|=|AB|时,达到最
18、大.在l上任取一点P,则|PB|-|PA|AB|,当P点与P点重合时,等号成立,最大值为|AB|.,返回目录,设点A(-3,5)和B(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上,找一点P,使|PA|+|PB|为最小,并求这个最小值.,对应演练,返回目录,设点A关于直线l的对称点A的坐标为（a，b），则由AAl和AA被l平分，,解之得a=3，b=-3，点A的坐标为（3，-3）,(|PA|+|PB|)min=|AB|=.kAB=-18,直线AB的方程为y+3=-18（x-3）.3x-4y+4=0，y+3=-18（x-3），,返回目录,得,解方程组,解之得P(，3).,返回目录,本学案内容是高考直线部分命题的重点.一般从下面三方面来命题：一是用直线方程判断两直线间的位置关系；二是利用两直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的一些问题.,高考专家助教,祝同学们学习上天天有进步！,
