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1、,第八节,一、最值定理与有界性,二、介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第二章,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论(有界性定理).,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,说明：定理1的条件不满足,结论不一定有,如,证:,例
2、1.证明:若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理,使,取,则,在,内连续,存在,则,必在,内有界.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(证明略),二、介值定理,2)定理提供了判断 根的存在性的,新方法.,说明,例1.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,例2.,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.
3、,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,例3 设,证,若记,由于,因此,若,则问题得证.,若,则由零点存在定理,即,定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,使,至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）开区间内的连续函数,（2）闭区间上的不连续函数(仍用此例)。,上严格单调，,则介值定理中的 唯一；,说明,3),则f(x)可以取到它最大值M,与最小值 m 之间的一切值.(推论),根据最值定理,例4,证,根据最值定理推论,于是,上连续,且恒为正,例5.
4、设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令,则,使,故由零点定理知,存在,即,当,时,取,或,则有,证明:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明至少存在,使,提示:令,则,易证,1.设,一点,2.设,且,则在(a,b)内至少有一点c，,使得,提示:设,易证,利用零点定理即可得证.,3.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,
