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1、第四章 连续时间系统的复频域分析,本章重点,1、Laplace变换的定义和基本性质;2、Laplace变换应用于线性系统分析;3、系统函数H(S)的概念;4、H(S)的零极点与频率特性以及系统的稳定性之关系。,ourier变换的局限性。Laplace变换的特点:1、变换简单且容易计算;2、可应用复频率的概念具有更普遍的意义;3、可处理的信号范围更广;4、在微分方程的求解中变微分运算为代数运算;5、自动引入初始条件,直接求出全解。,4-1 Laplace变换,一、从ourier变换到aplace变换:ourier变换对:,对某些增长信号引入收敛因子,则有:,1、双边aplase变换(double
2、-sided Laplase transform),Laplase变换对:,象函数,原函数,2、单边aplase变换(single-sided Laplase transform),注意:不特别强调讨论的都是单边拉氏变换。单边拉氏变换下限为。这样考虑到时刻可能发生冲激。,二、aplase变换的收敛域:(the region of convergence for Laplase transform)1、单边拉氏变换的收敛域:,:收敛坐标满足上式的函数称为指数阶函数。,2、双边拉氏变换的收敛域:,特别注意:双边拉氏变换要和收敛域一起,才能和原函数一一对应。,例:,收敛域的特点:1)收敛域为条状,平
3、行于轴;2)收敛域不包含拉氏变换有理式的极点;3)f(t)为右边函数收敛域在的右边;4)f(t)为左边函数收敛域在的左边;5)f(t)为双边信号收敛域为条状。,三、常用信号的拉氏变换,1、(t)2、U(t)3、e-at4、cos(ot)5、sin(ot)6、te-at,1,5-3 拉氏变换基本性质,1、线性性质:若,其中:C1,C2为任意常数,则,例:,e-at,f(t)=sin(ot),2、尺度变换性:,若f(t)F(s),则,3、时移性:,若f(t)U(t)F(s),则,例1:,例2:求图示信号的拉氏变换。,例3:求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。,【解】设,4、频移性:,若f(t)F(s),
4、则,解:,证明:,sin(ot),若f(t)F(s),则,例:,6、时域积分性:,解:,7、频域微分性:,若f(t)F(s),则,8、频域积分性:,若f(t)F(s),则,5、时域微分性:,若f(t)F(s),则,9、时域卷积定理:,若,则,10、频域卷积定理:,则,若,初值:f(t)|t=0+=f(0+),若f(t)有初值,且f(t)F(s),则,12、终值定理:,终值:f(t)|t=f(),若f(t)有终值,且f(t)F(s),则,11、初值定理:,注意:终值存在的条件:F(s)在s右半平面和j轴上无极点。,当f(t)含有冲激Ao(t)、Bo(t)等时,有,j,S平面极点分布与时域波形对照
5、图,5-4 拉普拉斯逆变换,(1)查表法(2)利用常用信号拉氏变换与基本性质(3)部分分式法(亥维赛德展开定理)(4)留数法回线积分法(5)数值计算方法计算机,方法:,例1:,例2:,利用拉氏变换性质和常用信号变换,有,解:,解:,例3:,解:,利用因式分解,有,部分分式展开,待定系数,例4:,练习:已知信号的拉氏变换,求对应的信号f(t).,练习:,5-5 线性系统的拉普拉斯变换分析法,一、电路元件的复频域模型,1、电阻元件,u(t)=Ri(t),U(s)=RI(s),2、电感元件,S域欧姆定理,Ls:运算感抗,3、电容元件,5、模拟单元,2)比例器y(t)=Af(t),F1(s),F2(s
6、),Y(s),Y(s),Y(s),Y(s),F(s),F(s),F(s),1)加法器y(t)=f1(t)+f2(t),3)微分器,4)积分器,二、s域电路基本定律,1、基尔霍夫定律,KVL定律:,KCL定律:,2、欧姆定律,其中:,(运算阻抗),(运算导纳),三、电路s域分析,基本步骤:,1)画t=0-等效电路,求初始状态;2)画s域等效模型;3)列s域电路方程(代数方程);4)解s域方程,求出s域响应;5)反变换求t域响应。,应用举例:,例 1:图示电路,开关动作前已进入稳态,试求开关打开后电感支路电流。,解:,t0,开关k闭合,电路稳定,有,t0,开关打开,根据s域电路,有,图示电路,t0
7、时电路响应i1(t)和 i2(t)。,练习:,解:,t0,开关k闭合,电路稳定,t0,开关k断开,由s域电路,有,例3:图示电路。1)f(t)=(t),求零状态响应h(t);2)欲使零输入响应u Cx(t)=h(t),求 i(o-)和u C(o-)。,1)f(t)=(t),求h(t),由s域电路模型,有,解:,2)欲使u Cx(t)=h(t),求 i(o-)和u C(o-),由s域电路模型,有,故 i(o-)=1A,u C(o-)=0,例4:已知某线性时不变系统数学模型如下,us(t)=tU(t),求零状态响应i(t)。,解:,例5:线性时不变系统的模型如下,且已知:f(t)=U(t),y(o
8、-)=2,y(o-)=1。求系统零输入响应、零状态响应以及全响应y(t)。,解:,零输入分量:,零状态分量:,全响应:,4-4 系统函数,一、定义:,零状态响应象函数,即:激励为est 时,H(s)为系统零状态响应的加权函数。,意义:,3)系统s域数学模型,取决于系统自身结构和参数,激励信号象函数,系统单位冲激响应的拉氏变换,二、分类:,策动点函数:激励与响应在同一端口,策动点导纳,策动点阻抗,转移函数:激励和响应不在同一端口,(传输函数),三、系统函数H(s)求法,1、h(t)H(s)2、H(s)=H(p)|p=s,3、零状态下微分方程 H(s)4、零状态下复频域电路模型 H(s)5、系统模
9、拟框图、信号流图 H(s),练习1:已知某系统模型为,求系统函数H(s),练习2:图示电路求系统函数H(s)。,由S域电路,有,练习3:已知系统模拟框图如右图示,写出系统函数。,四、应用:,yx(t),3)求系统零输入响应yx(t):,(系统自然频率),2)求系统零 状态响应yf(t):,1)求系统单位冲激响应 h(t):,4)求系统微分方程:,微分方程,条件:H(s)收敛域含j 轴,5)求系统频率特性H(j):,6)求系统正弦稳态响应:,例1:,7)求周期激励下系统的稳态响应:,8)判断系统稳定性,9)系统模拟仿真,10)系统零极点分析,求级联系统的系统函数H(s);,求并联系统的系统函数H
10、(s)。,例2:确定图示系统频率特性。,解:,因为H(s)收敛域含j 轴,故有,例3:某系统的系统函数为,解:,1)H(s)收敛域,求频率特性和激励f(t)=100cos(2t+45)时系统的正弦稳态响应y(t)。,含j 轴,有,4-5 系统函数的零、极点分析,例1:,极点:,零点:,特点:极点决定系统的固有频率或自然频率。零、极点决定于系统时域特性。,一、系统函数的零点与极点,例:,零极点图:,(2),研究系统零极点意义:1.可预测系统的时域特性;2.确定系统函数H(s);3.描述系统的频响特性;4.说明系统正弦稳态特性;5.研究系统的稳定性。,练习:H(s)的零极点分布如图示,且H(0)=
11、4,求H(s)。,一、H(s)零、极点分布与系统的频率特性,其中:,矢量随频率的变化,(振幅),(相位),4-6 系统的稳定性分析,一、定义,若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应,则该系统是稳定的。,二、稳定性准则(充要条件),可见,系统稳定性取决于系统本身的结构和参数,是系统自身性质之一。系统是否稳定与激励信号无关。,其中:Mf,My为有限正数,其中:M为有限正数,即:系统的单位冲激响应绝对可积,则系统稳定。,三、稳定性判断,1、极点判断:,(1)H(s)极点全部位于s左半平面:系统稳定(2)含有j 轴单极点,其余位于s左半平面:系统临界稳定(3)含有s右半平面或j 轴重极点:系统不稳定
12、,由系统极点判断,2、霍尔维茨(Hurwitz)判断法:,若(1)系数无缺项;(2)ai0 i=0,1,n 则 D(s)称为霍尔维茨多项式,系统稳定必要条件:H(s)中的D(s)应为霍尔维茨多项式。,(一、二阶系统充要条件),稳定条件:A 0、B0,3、罗斯(Routh)判断法:,例:,(1)D(s)应为霍尔维茨多项式(2)排列罗斯阵列(3)由罗斯准则判断D(s)=0根的分布(4)判断系统的稳定性。,罗斯阵列,例1:,罗斯阵列中首列元素同号时,故D(s)=0的根全位于s左半平面。,罗斯准则:罗斯阵列中:1)阵列中首列元素同号时,其根全位于s左半平面。2)阵列中首列元素有变号时,则含有s右半平面
13、根,个数为变号次数。,例2:,练习:,某行首列元素为零,其他元素不为零:可用无穷小量代替0,继续阵列计算。(无穷小量可视为正数或负数),故:D(s)=0含两个s右半平面根,例3:,某行元素全为零,可从上行找辅助多项式,求导,得系数,继续阵列计算。,故:D(s)=0无s右半平面的根。但有一对共轭复根在j轴。,故:欲使系统稳定,k0。,欲使系统稳定工作,求K的取值范围。,例4:欲使图示系统为一个稳定工作系统,求k的取值范围。,练习:已知某系统函数为,0K110,习题6-19:图示为某放大器电路,1)求,解:,由s域电路模型,可列方程,2)欲使该电路为一个稳定系统,求k的取值范围;3)在临界稳定条件下电路的单位冲激响应h(t).,欲使该电路为一个稳定系统,则k3.,临界稳定条件:K=3,