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1、1.1 变化率与导数,一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度,在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这
2、种现象呢?,播放,暂停,停止,探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，,虽然运动员在 这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态,思考1：你能给出函数 f(x)从x1到x2的平均变 化率的定义吗？,函数 f(x)从x1到x2的平均变化率为,习惯上：x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1)则平均变化率为,x是一个相对于x的变化量,可正可负,但不能为0.,不一定,平均变化率可正、可负、可为零.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”；曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.,函数的平均变化率
3、就可以表示为函数的改变量与自变量的改变量之比,说明：,平均变化率为:,思考2：平均变化率有什么几何意义呢？,平均变化率的几何意义就是函数f(x)图像上两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)所在直线的斜率。,直线AB的斜率,A,B,变式训练1.(1)计算函数f(x)x2从x1到x1x的平均变化率,其中x的值为:2;1;0.1;0.01;(2)当x越来越小时,函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？,变式训练本例条件不变,求:(1)物体在t10 s到t10.1 s,这段时间内的平均速度;,练习,1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+
4、x,-2+y),则y/x=()A.3 B.3x-(x)2 C.3-(x)2 D.3-x,D,3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.,A,作业：(1)计算函数 f(x)=2 x+1在区间 3,1上的平均变化率；,(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。,(1)解：y=f(-1)-f(-3)=4 x=-1-(-3)=2,(2)解：y=f(x+x)-f(x)=2x x+(x)2,2.我想进一步探究的问题是,1.这节课我的收获是,小结：,3.这节课我最感兴趣的地方是,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：,（1）1,3;（2）1,2;（3）1,1.1;（4）1,1.001;（5）1,1.0001;,一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s),4,3,2.1,2.001,1.999,1.99,1.9,2,（6）0.999,1;（7）0.99,1;（8）0.9,1.,2.0001,练一练,如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？,思考：,
