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1、第三章复变函数的积分,主要内容 1 复变函数的积分概念2 柯西古萨（CauchyGoursat）基本定理3 复合闭路定理（基本定理的推广）4 原函数与不定积分5 柯西积分公式6 解析函数的高阶导数7 解析函数与调和函数的关系,主要内容,1、复变函数积分的概念、性质、计算法2、复变函数积分的柯西古萨(Cauchy-Goursat)基本定理3、解析函数与调和函数的关系。,复合闭路定理,柯西积分公式,解析函数的导数仍是解析函数,高阶导数公式,返回,1复变函数的积分概念,一、概念：1、定义2、计算方法3、说明二、复变函数积分的性质三、例题：例1，例2，结论，例3，例4,返回,2 柯西古萨（Cauchy
2、Goursat）基本定理,柯西古萨定理例5,返回,3复合闭路定理（基本定理的推广）,一、复合闭路定理二、复合闭路定理的推广：推广1；推广2三、重要结果的推广例6,返回,4原函数与不定积分,一、原函数的定义 1、定义1 2、定义2二、定理 1、定理1；2、定理2；3、定理3三、例题 例1；例2；例3；例4,返回,5柯西积分公式,定理例题例1；例2；例3；例4,返回,6复变函数的高阶导数,一、定理二、例题1、例12、例2三、Morera定理,返回,7解析函数与调和函数的关系,一、调和函数的概念：1、定义 2、定理 3、共轭调和函数的定义 二、例题1、例1 2、例2 3、例3三、课堂练习,返回,1、
3、定义：函数 定义在区域D内，C是D内的一条光滑有向曲线，为起点，为终点。,（1）分割，插入n-1个分点,（2）求局部近似值,（3）求和,（4）求极限,若C为封闭曲线，则记为,返回,1复变函数积分的概念,一、概念,无论对C怎样的分法，,怎样的取法，极限都存在，,2、计算方法,则：,令：,且由：,返回,2 的说明,3、说明,Proof:,在C上也连续，,在C上连续，则：,返回,二、复变函数积分的性质（设 在C上可积）,1 线性性：,推广：,2 有向性：,下一页,（其中L为C的长度）。,返回,上一页,例 1,例1 设C为从原点到点A(3,4)的直线 段，求 绝对值的一个上界。,解：由性质4，求出L，
4、M即可,由：,返回,三、例题,例2 计算 其中C为1 原点到点 的直线段。2 的折线段,（以x为积分变量化为定积分）,解：,1,原式,下一页,回到4,2折线段,返回,上一页,由例2得出,结论：,结论：复变函数积分与路径无关,（C-R条件）,解析,积分与路径无关,返回,由例2：,例3 计算 C是以 为中心，r（常数）为半径的正向圆周。,所以：,解：参数方程为,返回,下一页,例4 求 C是以 为中心，r为 半径的正向圆周（）。,解：,返回,上一页,一、柯西-古萨定理：设 在单连通域D内解析，C是D内任一条闭曲线，则。,是解析函数，,Proof:,返回,积分与路径无关,2 柯西-古萨定理（Cauch
5、y-Goursat Th）,例5 求 其中 的正向。,返回,一、复合闭路定理：,是包括C内部多连通域的边界（n条简单闭曲线），则：,设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，,1、,2、,Proof：2、,返回,L：由C围成的区域的边界,3 复合闭路定理,二、复合闭路定理的推广,推广1：设D内有一个奇点,则：,作n个闭曲线,且,则：,返回,三、由复合闭路定理得到的一个重要结果的推广,返回,例6 求下列积分,为奇点,解析,（3）,（1）,（2）,为奇点，,下一页,(4)其中C：包含在内的任何正向简单闭曲线。,返回,上一页,作 业,作业,P99256(1,2,4,5)9(4),返回,一、原函数的定义,返
6、回,4 原函数与不定积分,1、定理1：设 是单连通域D内的解析函数，则 在D内解析，且,Proof（1）,故：,可知：,分别是某一函数,的全微分，即,故：,下一页,二、几个定理,（2）,返回,上一页,2、定理2：的任何两个原函数相差一个常数。,即：,返回,3、定理3：若 在单连通域D内解析，为 的一个原函数，是D内两点，则,都是原函数,Proof:,返回,例1 计算,（1例2）,返回,例2求,解：原式,返回,例3 求,解：原式,返回,例4 沿区域 的圆弧，计算,解：原式,返回,1、定理：（柯西积分公式）设D为一单连通域，为D内一点，在D内解析，C为D内包含 的一条正向简单的闭曲线，则,由复合闭
7、路定理，,返回,5 柯西积分公式,例1 求下列积分的值：其中C:正向（1）（2）,解：,返回,例2 求 其中C:（1）的正向；（2）的正向。,所以：原积分=0,原积分,返回,例3 求，其中C:的正向。,解：方法一,原式,方法二,解：方法二,原式,由,返回,方法一,例4 设C表示正向圆周，设函数 求,解：,由柯西积分公式知：,因为：,在C内部，,所以：,返回,作 业,返回,课堂练习及讲解,作业,P1007(1,2,3,4)8(1,3)9(1,2)14,返回,一、定理（高阶导数公式）,，,闭曲线，且C围成的区域包含在D中。,返回,proof,6 复变函数的高阶导数,Proof:由柯西积分公式有,，
8、,下一页,上一页,又由,由归纳法可证得：,我们常用形式：,返回,上一页,例1 求下列积分的值，C：的正向。,（1）,（2）,返回,（1）,解：,原式,解析,返回,（2）,为奇点，,原式,解：,返回,例2 计算，C:正向，。,本题分成三部分,返回,（1）,0,1,-1,C1,原式,为奇点，,返回,（2）为奇点,原式,原式,返回,（3）为奇点,原式,原式,返回,二、Morera定理,设函数f(z)在单连通域D内解析，且对于D内任意一条简单闭曲线C都有：则：f(z)在D内解析。,返回,f(z)的积分与路径无关,f(z)解析,证明：,1、定义,1）一个二元函数,在D内若满足,方程。,2）方程,返回,7
9、 解析函数与调和函数的关系,一、调和函数的概念,2、定理：任何在区域D内解析的函数，它的实部与虚部在D内是调和函数。,故在内调和；同理在内也调和。,返回,3、共轭调和函数的定义,若u，v是调和函数，且满足C-R条件，则称v是u的共,返回,注意：u，v的秩序不能颠倒,例1 证明 为调和函数，并求其一个共轭调和函数。,所以,故是调和函数,Proof:(1),下一页,(2),由,是的调和函数。,由,取其中一个，不妨设,返回,上一页,例2 求以 为实部的所有解析函数。,故u是调和函数；,取其中一个,所以解析函数为：,由：,（）式两边求导,由：,返回,解：,例3 若 是一个解析函数，证明：（1）是解析函数；（2）-u是v的共轭调和函数。,解：,（1）,由C-R条件有：,所以-是的共轭调和函数。,返回,1、设f(z),g(z)在区域D内处处解析，C为D内任意一条简单闭曲线，它的内部全包含于D，如果f(z)=g(z)在C上所有的点处成立，试证在C内所有的点处f(z)=g(z)也成立。,返回,积分课堂练习及讲解：,作 业,4、求以 为实部的所有解析函数。,作业,P1007（9，10）9（3，5）28 30（1）求全部解析函数；（3）求一个解析函数。31,返回,
