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1、第三节 格林公式及其应用,Chapter 11,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径 无关的 等 价 条件,34-2,一、格林公式,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为多连通区域.,多连通区域,单连通区域,1、区域连通性的分类,单连通区域(无“洞”区域)，多连通区域(有“洞”区域),34-3,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,2、边界曲线的正向,一、格林公式,34-4,定理1.设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,函数,则有,(格林公式),在 D 上具有一阶连续偏导数,一、格林公式,其中L是D的取正向的边界曲线
2、。,34-5,证明:,1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且,则,即,34-6,同理可证,、两式相加得:,34-7,2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,(如图),34-8,G,F,由2)知,34-9,格林公式,34-10,推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,例如,椭圆,所围面积,格林公式,34-11,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明,证:令,则,利用格林公式,得,34-12,解,D,34-13,例3.计算,其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:令,则,利用格林公式,有,也可以直接用二重
3、积分来计算,34-14,例4.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,34-15,在D 内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式,得,例4.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,34-16,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一
4、函数,的全微分,即,34-17,证明(1)(2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),34-18,证明(1)(2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,34-19,证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,34-20,同理可证,因此有,证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,34-21,证明(3)(4),设存在函数 u(x,y)使得,则,34-22,P,Q 在 D 内具有连续的偏
5、导数,从而在D内每一点都有,证明(3)(4),设存在函数 u(x,y)使得,则,34-23,证明(4)(1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,34-24,说明:,根据定理2,若在某区域D内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,34-25,4)若已知 d u=P dx+Q dy,则对D内任一分段光滑曲,注:此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).,它类似于微积
6、分基本公式:,34-26,解,例4.,34-27,例5.计算,其中L 为上半,从 O(0,0)到 A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D,则,34-28,例6.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使,34-29,例7.验证,在右半平面(x 0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理 2 可知存在原函数,34-30,或,34-31,例8.设质点在力场,作用下沿曲线 L:,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,34-32,思考:积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关!,转内容小结,34-33,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有,为全微分方程,34-34,思考与练习,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,
