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1、3.2 边缘分布,联合分布F(x,y),二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.,问题：二者之间有什么关系吗?,分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数,但作为一维随机变量,X,Y 也有自己的分布函数.,由联合分布可以确定边缘分布,由边缘分布一般不能确定联合分布,反之?,转化为一维时的情形,点 表示 pij 对于该点所在位置的变量求和,一、离散型二维随机变量的边缘分布律,二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,(X,Y)关于X 和关于Y 的边缘分布律,记住!,例1,1/4 1/4 1/4 1/4,25/4813/48 7/48 3/48,1,边缘分布
2、律?,为方便计算,我们通常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上,FX(x)=F(x,+),X 和Y 的联合分布函数为F(x,y),则(X,Y)关于X 的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y 的边缘分布函数为,二、连续型二维随机变量的边缘概率密度,(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为,则(X,Y)关于X 的边缘概率密度为,小结,联合 分布函数,离散型连续型,联合分布列 联合概率密度,边缘分布函数,离散型连续型,边缘分布律边缘概率密度,例2 设(X,Y)的概率密度是,解,求边缘密度.,分段函数积分应注意其表达式,y=x,y=x2,在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行
3、积分.,当联合密度是分段函数时，在计算积分时应特别注意积分限.,例3,设(X,Y)服从椭圆域 上的均匀分布,求,(1)求(X,Y)的边缘密度函数,解(1),由题知(X,Y)的概率密度为,同理可得,(2),(2),其中A为区域:,X 与Y 不服从均匀分布,二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的,二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布,G,x+y=b,解,例4,求二维正态分布的边缘密度.,同理：,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布,均与 无关,反之不成立,在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率,设有两个随机变量X,Y，,这个分布就是条件分布,例如,考虑某大学的全体学生,则X 和Y 都是
4、随机变量,它们都有一 定的概率分布.,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念,在给定 Y 取某个或某些值的条件下,求 X 的概率分布.,3.3 二维随机变量的条件分布,在这个条件下去求X 的条件分布.,现在若限制1.7Y1.8(米),这就意味着要从该校的学生中把身高在1.71.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.,实际上是第一章中条件概率概念在另一种形式下的重复,定义1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，,作为条件的那个随机变量的取值是给定的,类似定义在 X=xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律:,一、离散型随机变量的条件分布,条件分布律是一种分布律，它具有分布律的一切
5、性质.,如同条件概率是一种概率，从而具有概率的一切性质，,显然,i=1,2,为在Y=yj 条件下，随机变量 X 的条件分布律.,=1,对于固定的 j，若边缘分布P(Y=yj)=pj 0，,有放回地连续摸两次,解 依题意有,例1 一袋中装有两只白球,三只红球,所以X 和Y 的联合分布律,试求条件X=1下随机变量Y 的及Y=0下 X 的条件分布.,设随机变量,3/5 2/5,3/52/5,及边缘分布律为,条件X=1下的条件分布律为,先求联合分布列和边缘分布列,求二维离散型随机变量的条件分布律,需知边缘分布和联合分布.,如何求条件分布函数？,X、Y 的条件分布律分别为:,在已知 Y=yj 下,X 的
6、条件分布函数为:,在已知 X=xi 下,Y 的条件分布函数为:,类条概公式,设(X,Y)的分布函数为 F(x,y),概率密度为 f(x,y),由于x,y,PX=x=0,PY=y=0,所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，,类似地,条件 X=x 下Y 的条件分布函数为,定义2 若极限,则条件Y=y 下X 的条件密度为,二、连续型随机变量的条件分布,设(X,Y)是二维连续型随机变量,下面我们用极限工具给出条件概率密度的定义:,存在，,则称它为条件Y=y下 X 的条件分布函数，,则其边缘密度函数 fX(x),fY(y)也连续，,条件 X=x 下Y 的条件密度为,记为 FX|Y(x|y).,解,例2
7、 设(X,Y)的概率密度为,同理,求条件概率密度,由类条概公式，,当 y 0 和 y1 时，,y=x,y=x2,应先求两个边缘密度 fX(x),fY(y)：,不存在,当 0 y 1 时，,同理,当 x 0 和 x1 时，,当 0 x 1 时，,不存在,在 X=x(0 x1)的条件下，随机变量 Y 在区间0,x上服从均匀分布，,设随机变量 X 在区间0,1上服从均匀分布，,例3,(1)联合概率密度 f(x,y);(2)Y 的概率密度;(3)P(X+Y1).,解(1),0，其他.,(2),求：,y=x,(3)P(X+Y1),已知边缘密度和条件密度,y=x,y=1-x,例4 设(X,Y)服从圆域 x
8、 2+y 2=R2 上的均匀分布，,求 及,解(X,Y)关于X 的边缘密度为,X 已知下Y 的条件密度,条件分布仍为均匀分布,恰为 y 取值区间的长度,都服从均匀分布,恰为 x 取值区间的长度,当|x|R 时,当|y|R 时,小结,二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布,条件分布仍为均匀或正态分布,二维随机变量的条件分布,离散型连续型,课堂练习,求.,解,暂时固定,当 时,当 时,故,暂时固定,暂时固定,暂时固定,当 时,当 时,故,当 时,综上,当 时,暂时固定,4.设(X,Y)的概率密度是,A=24.,解(1),故,求(1)A的值(2)两个边缘密度(3),解,(2),当 时,当 时,暂时固定,注意取值范围,综上,当 时,综上,注意取值范围,(2),当 时,故,暂时固定,当 时,故,暂时固定,作业,P82 1，5,P86 1，5,
