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1、10/27/2023,高等数学课件,第八章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第五节 曲面与曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间曲线及其方程,10/27/2023,高等数学课件,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参
2、数t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度,称为螺距.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,空间曲线的参数方程的几个例子,机动 目录 上页 下页 返回 结束,环形螺线,盘龙线,10/27/2023,高等数学课件,例1.将下列曲线化为参数方程表示:,解:(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,例2.求空间曲线:,绕 z 轴旋转,时的旋转曲面方程.,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,机动 目录 上
3、页 下页 返回 结束,这就是旋转曲面满足的参数方程.,10/27/2023,高等数学课件,例如,直线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和,得旋转曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这就是单叶旋转双曲面。,10/27/2023,高等数学课件,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束,这在xoy 面上就是一个椭圆。,10/27/2023,高等数学课件,又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,(2),(1),画出下列曲线：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,(3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27/2023,高等数学课件,参考题,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
