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1、2023/10/31,同济版高等数学课件,第六节,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,空间直线及其方程,第八章,2023/10/31,同济版高等数学课件,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1.一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),2023/10/31,同济版高等数学课件,2.对称式方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,2023/10/31,同济版高等数学课件,3.参数式方程,设,得参数式方程:,2023/10/31,同济版高等数学课件,例1.
2、用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,2023/10/31,同济版高等数学课件,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,2023/10/31,同济版高等数学课件,二、线面间的位置关系,1.两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线 L1,L2 的方向向量分别为,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),2023/10/31,同济版高等数学课件,特别有:,2023/10/31,同济版高等数学课件,例2.求以下两直线的夹角,解:直线L1的方
3、向向量为,直线L2的方向向量为,二直线夹角 的余弦为,(参考P44 例2),从而,2023/10/31,同济版高等数学课件,当直线与平面垂直时,规定其夹角为,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,2023/10/31,同济版高等数学课件,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,4)且与平面,2023/10/31,同济版高等数学课件,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容
4、小结,2023/10/31,同济版高等数学课件,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,2023/10/31,同济版高等数学课件,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,2023/10/31,同济版高等数学课件,作业P48 3，4，5，7，9,P48 题2,10,习题课,思考与练习,2023/10/31,同济版高等数学课件,解：,相交,求此直线方程.,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,备用题,2023/10/31,同济版高等数学课件,设所求直线与 L2 的交点为,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点.,即,故所求直线方程为,则有,2023/10/31,同济版高等数学课件,代入上式,得,由点向式得所求直线方程,而,
