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1、2023/11/6,同济版高等数学课件,二、空间曲线的切线与法平面,第六节,一、一元向量值函数及其导数,三、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第九章,2023/11/6,同济版高等数学课件,一、一元向量值函数及其导数,引例:已知空间曲线 的参数方程:,的向量方程,对 上的动点M,即 是,此方程确定映射,称此映射为一元向量,的终点M,的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.,值函数.,要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.,2023/11/6,同济版高等数学课件,定义:给定数集 D R,称映射,为一元向量,值函数（简称向量值函数）,记为
2、,定义域,自变量,因变量,向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、,连续和导数密切相关,进行讨论.,极限：,连续：,导数：,严格定义见P91,因此下面仅以 n=3 的情形为代表,2023/11/6,同济版高等数学课件,向量值函数的导数运算法则:(P91),是可导函数,则,c 是任一常数,2023/11/6,同济版高等数学课件,例1.设,解：,2023/11/6,同济版高等数学课件,向量值函数导数的几何意义:,在 R3中,设,的终端曲线为,切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停,表示终端曲线在t0处的,切向量,其指向与t 的增长方,向一致.,则,2023/11/6,同济版高等数学课件,向量
3、值函数导数的物理意义:,设,表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有,速度向量：,加速度向量：,2023/11/6,同济版高等数学课件,例2.设空间曲线 的向量方程为,求曲线 上对应于,解:,的点处的单位切向量.,故所求单位切向量为,其方向与 t 的增长方向一致,另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为,=6,2023/11/6,同济版高等数学课件,例3.一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺,求,旋式上升,其位置向量为,(1)滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;,(2)滑翔机在任意时刻 t 的速率;,(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.,解:(1),(3)由,即,即仅在开始时刻
4、滑翔机的加速度与速度正交.,2023/11/6,同济版高等数学课件,二、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.,置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位,给定光滑曲线,在,点法式可建立曲线的法平面方程,利用,点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为,点向式可建立曲线的切线方程,2023/11/6,同济版高等数学课件,1.曲线方程为参数方程的情况,因此曲线 在点 M 处的,则 在点M 的导向量为,法平面方程,给定光滑曲线,为0,切线方程,2023/11/6,同济版高等数学课件,例4.求曲线,在点 M(1,1,1)处的切线,方程与法平面方
5、程.,解：,点(1,1,1)对应于,故点M 处的切向量为,因此所求切线方程为,法平面方程为,即,思考:光滑曲线,的切向量有何特点?,答:,切向量,2023/11/6,同济版高等数学课件,2.曲线为一般式的情况,光滑曲线,曲线上一点,且有,可表示为,处的切向量为,2023/11/6,同济版高等数学课件,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,2023/11/6,同济版高等数学课件,也可表为,法平面方程,(自己验证),2023/11/6,同济版高等数学课件,例5.求曲线,在点,M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,2023/11/6,同济版高等数学课件,法
6、平面方程,即,解法2 方程组两边对 x 求导,得,曲线在点 M(1,2,1)处有:,切向量,解得,2023/11/6,同济版高等数学课件,切线方程,即,法平面方程,即,点 M(1,2,1)处的切向量,2023/11/6,同济版高等数学课件,三、曲面的切平面与法线,设 有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0.,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面.,上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,2023/11/6,同济版高等数学课件,证:,在 上,得,令,由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上,
7、从而切平面存在.,2023/11/6,同济版高等数学课件,曲面 在点 M 的法向量:,法线方程,切平面方程,过M点且垂直于切平面的直线,称为曲面 在点 M 的法线.,2023/11/6,同济版高等数学课件,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,2023/11/6,同济版高等数学课件,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习,2023/11/6,同济版高等数学课件,例6.求球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:令,所以球面在点(1,2,3)处有:
8、,切平面方程,即,法线方程,法向量,即,(可见法线经过原点，即球心),2023/11/6,同济版高等数学课件,例7.确定正数 使曲面,在点,解:二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切,故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面,因此有,2023/11/6,同济版高等数学课件,1.空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,2023/11/6,同济版高等数学课件,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2)一般式情况.,2023/11/6,同济版高等数学课件,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1)隐式情况.,的法向量,切
9、平面方程,2.曲面的切平面与法线,2023/11/6,同济版高等数学课件,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线的方向余弦,法向量,2023/11/6,同济版高等数学课件,作业 P99 2(1)，4，5,6，8，10，12,2023/11/6,同济版高等数学课件,思考与练习,1.如果平面,与椭球面,相切,提示:设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),2023/11/6,同济版高等数学课件,证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示:在曲面上任意取一点,则通过此,2.设 f(u)可微,第七节,证明原点坐标满足上述方程.,点的切平面为,2023/11/6,同济版高等数学课件,备用题1.证明曲面,与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立.,的所有切平面恒,2023/11/6,同济版高等数学课件,2.求曲线,在点(1,1,1)的切线,解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,
