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1、二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒(Taylor)公式,第三章,1.求 n 次近似多项式,2.余项及误差估计:,(称为余项),(称为误差),s.t.,一、泰勒公式的建立,如何提高精度?,如何估计误差?,公式 称为 的 n 阶泰勒公式.,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒（Taylor）中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,泰勒（英）(1685 1731),佩亚诺（Peano）余项麦克劳林（Maclaurin）公式,麦克劳林（英）(1698 1746),佩亚诺（意大利）(1858 1
2、932),二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,其中,类似可得,其中,其中,已知,其中,类似可得,三、泰勒公式的应用,1.在近似计算中的应用（例1）,2.利用泰勒公式求极限（例2）,3.利用泰勒公式证明不等式（例3）,已知,例1.计算无理数 e 的近似值,使误差不超过,解:,令 x=1,得,由于,欲使,由计算可知当 n=9 时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,例2.求,解:,由于,用洛必塔法则不方便!,例3.证明,证:,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式.,2.常用函数的麦克劳林公式,3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(2)其他应用,求极限,证明不等式 等.,作业 P145 5 7 8 10(1)(2),思考与练习,计算,解:,原式,
