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1、1,三、几种常用的空间曲线,一、旋转曲面,二、柱面,几种常用的二次曲面与空间曲线,2,定义1.一条平面曲线,一、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴.,例如:,3,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,4,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,5,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,6,一、旋转曲面,定义,以一条平
2、面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,7,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,8,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,9,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,10,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,11,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线
3、绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,12,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,13,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,14,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,15,一、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,16,下面我们重点讨论母线在坐标面,轴是
4、坐标轴的,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,旋转曲面.,17,同理：当曲线,绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:,例1.旋转抛物面,特点:母线C为抛物线,轴L为抛物线的对称轴。,例如:将yoz平面上的抛物线C:,绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:,例如:将yoz平面上的抛物线C:,绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:,问:此曲线若绕x轴旋转所得的是何图形?,18,例2:,其图形顶点在z轴上(0,0,1)处,开口向下的旋转抛物面.,例3.旋转椭球面,特点:母线C为椭圆,轴为椭圆的,对称轴
5、.,例如:yoz面上的椭圆:,绕z轴旋转得旋转曲面方程:,绕y轴旋转得旋转曲面方程:,(0,0,1),注:旋转曲面的重要特征是其两个变量的平方项系数相等.,19,例4.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,20,例5.求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,21,二、柱面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C
6、,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为,故在空间,过此点作,圆柱面.,对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,22,定义,二、柱面,观察柱面的形成过程:,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,23,定义,二、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,24,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面
7、称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,25,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,26,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,27,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,28,定义,观察柱面的形成
8、过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,29,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,30,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,31,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，
9、动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,32,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,33,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,34,定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,二、柱面,35,定义,二、柱面,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲
10、线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,36,定义2.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线,l 叫做母线.,37,一般地,在三维空间曲面图形的方程中缺少一个变量,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲
11、线 l2.,母线,此方程表示柱面方程.其图形平行于所缺变量对应的数轴.,38,注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,在不同的坐标系中应该注意。,一般在xoy面上的曲线，在空间直角坐标系中应该,表示为：,而,在空间坐标系中表示柱面。,例如：抛物柱面,在xoz平面上的准线L3,39,三、几种常用的空间曲线,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),40,1、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成
12、参数t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度,称为螺距.,41,例1.将下列曲线化为参数方程表示:,解:(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,42,2、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,满足（1）的数,中的,必满足（2）式。,这说明曲线C上所有点都在（2）,式所表示的曲面上。,求其在 平面上的投影.,43,2、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox
13、面上的投影曲线方程,44,例2,C 在xoy 面上的投影曲线方程为,（1）（2）,（3）代入（1）整理得,求曲线C在xoy 面上的投影曲线方程。,为投影柱面，,45,例3,所围的立体在xoy 面上的投影,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域.,区域为:,46,例4,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,47,(2),(1),展示空间图形,48,(3),49,50
14、,思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,51,52,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,53,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,54,空间曲线,三元方程组,或参数方程,求投影曲线,(如,圆柱螺线),3、几种常用的空间曲线,55,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1.指出下列方程的图形:,56,例4：求抛物柱面,和平面,的交线 三个坐标面的投影。,解：1.,的母线 L/z轴，则它就是交线在,xoy平面的投影柱面，,它是xoy面上的一条抛物线。,2.,的母线 L/y轴，则它就是交线,在xoz平面的投影柱面，,它是xoz面上的一条射线。,3.由,消去,得,为交线关于yoz,面的投影柱面,则,它是yoz面上的一条抛物线.,因此交线在xoy面的投影曲线：,因此交线在xoz面的投影曲线：,
