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1、,第四节 几类特殊类型函数的积分,从前面几节的学习，大家可能已经体会到：,求不定积分不象求导数有一个固定的方法。,求不定积分的方法很灵活，怎样将一个不定积分,求出来，具体用什么方法，因具体的积分而异。,不仅如此，另外，还有这样的情况：,某些函数积不出来！,即：它的原函数不能用初等函数的有限形式表示。,例如：,积不出来！,于是，人们就想：,是否有某些类型的函数,按照特定的方法就一定能积出来？,答案是肯定的！,下面就来给大家介绍几类这样的函数。,一.有理函数的积分,有理函数：,两个多项式的商,假分式,多项式除法,多项式,+,真分式,例,计算步骤：,1.将,化为真分式,2.用待定系数法将真分式,分解
2、为部分分式,之和,(1),将,分解为质因式之积，,即：因式分解,(2),含有因式,时，,的分解式中就对应着,个部分分式：,含有因式,时，,的分解式中就对应着,个部分分式：,（3）,确定系数,3.求积分,0,0,用递推公式,例1,求,解,是真分式,设,即,比较系数，得,解得,（*）,另解：,在（*）式中，,例2,解,设,即,取,代入得,取,代入得,比较,的系数，,得,例3,解,是真分式,设,取,得,比较,的系数，,得,比较,常数项，,得,例4,解,是假分式,真分式,设,取,得,取,得,例5,解,是真分式,设,比较系数，得,注：,本题用到递推公式。,怎么积？,如按上面讲的步骤去积，,将非常繁。,注
3、:,在求有理函数的积分时,虽然按上面介绍的步骤,一定可以积出来,但是,这种方法不一定是最佳的方法,有时,甚至很繁.,所以,我们在求有理函数的积分时,如有更简单的方法,就不必用上面介绍的方法.,简言之,要灵活!,哪个方法简便,就用哪个.,二.三角函数有理式的积分,定义,将,及常数进行有限次四则运算,所得的函数称为三角函数的有理式,记为,积分方法:,令,则,有理函数,万能代换,例6,解,用万能代换.,令,怎样求下列积分?,令,注意灵活!,规律：,求积分,（1）,若,用第一换元法，选,（2）,若,用第一换元法，选,（3）,若,用第一换元法，选,练习：求下列积分,三.简单无理函数的积分,1.,困难:,含有根号,积分方法:,作换元,令,例7,解,令,例8,解,令,2.,困难:,含有根号,积分方法:,先配方,再换元,例9,解,先配方,小 结,作 业,P218,1,5,6,9,1314,15,17,19,22,23,24,24题的提示：,令,
