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1、1关于函数定义域为R的结论(1)若f(x)=型的函数的定义域为 R，则有ax2+bx+c0恒成立(2)若f(x)=lg(ax2+bx+c)型的函数的定义域为 R，则有ax2+bx+c0恒成立,(3)若 型的函数的定义域为R，则有ax2+bx+c0恒成立.2函数的单调性的等价关系(1)设x1，x2a，b，x1x2，那么(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 f(x)在a，b上是增函数；(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 f(x)在a，b上是减函数,(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数(3)如果函数f(x)和g(x)都
2、是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)是减函数；如果函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是增函数(4)复合函数y=fg(x)的单调性：同增异减,3函数的奇偶性质(1)f(x)为奇函数f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0；f(x)为偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)f(x)-f(-x)=0.(2)f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性(4)若f(x+a)为奇函数f(x)的图象关于点(a,0)成中
3、 心对称；若f(x+a)为偶函数f(x)的图象关于直线x=a对称,(5)设f(x)，g(x)的定义域分别D1,D2，那么在它们的公共定义域D=D1D2上，奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇；(6)多项式函数P(x)=anxn+an-1xn-1+a0的奇偶性：多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项的系数全为零；多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项的系数全为零,4函数的对称性常用结论：(1)证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上(2)证明图象C1与C2的对称性，即证C1上任意点关于对称中心(轴)的对称点在C2上，反之亦然(3)函数y=f(
4、x)与y=f(-x)的图象关于直线x=0(y轴)对称；函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0(x轴)对称(4)若函数y=f(x)在xR时，f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称,(5)若函数y=f(x)在xR时，f(a+x)=f(b-x)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线 对称(6)函数y=f(a+x)，y=f(b-x)的图象关于直线 对称(7)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图象关于直线 对称(8)函数y=f(x)，y=A-f(x)的图象关于直线y=对称由 确定,由两个条件可求出b，c，再利用图象或解方程
5、求解,【例1】设函数，若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，求关于x的方程 f(x)=x 的解的个数,函数的图象从形式上很好地反映了函数的性质，所以在研究函数性质时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象十分快捷，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易解错,【变式训练】(2010 浙江卷)设函数的集P=f(x)=log2(x+a)+b|a=-1/2，0，1/2，1；b=-1,0,1，平面上点的集合Q=(x，y)|x=-1/2，0，1/2，1；y=-1,0,1，则在同一直角坐标系中，P中函数 f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是()A4 B
6、6 C8 D10,【例2】(2010 全国卷)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是_,画出函数图象，利用数形结合的数学方法解题,在解方程或不等式等问题时，借助图象十分快捷，但要注意求交点个数或解的个数等问题时，作图要十分准确，否则容易出错,【变式训练】已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(2)求集合M=m|使方程f(x)=mx有四个不等的实根,【例3】(2010 湖南卷)用mina，b表示a、b两数中的最小值，若函数f(x)=min|x|，|x+t|的图象关于直线x=对称，则t的值为()A-2 B2C-1 D1,先作
7、出y=|x|的图象，再作出y=|x|关于x=对称的图象，从而确定t的值,本题通过新定义考查学生的创新能力，考查函数的图象及数形结合的能力。,由题意画出f(x)=min|x|，|x+t|的图象，因为其图象关于x=对称，则-t=-1，所以t=1.,【变式训练】函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件：对任意xR，有f(x)0；对任意x、yR，有f(xy)=f(x)y；f()1.(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)在R上是增函数；(3)若abc0，且b2=ac，求证：f(a)+f(c)2f(b),1作函数图象的一般步骤：(1)求出函数的定义域；(2)化简函数式；(3)讨论函数的性质(如单调性，
8、奇偶性，周期性)以及图象上的特殊点，线(如渐近线，对称轴等)；(4)利用基本函数的图象画出所给函数的图象 2函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化在解决函数问题，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时要注意充分发挥图象的直观作用,3证明函数图象的对称性或利用图象的对称性 确定函数解析式时，只需取图象上任意一点即可 4函数定义域的求法(1)已知函数的解析式求定义域 当给出函数解析式时，求函数的定义域，就是求使函数的解析式中所有式子都有意义的自变量x组成的不等式(组)的解集；当函数是由具体问题得出时，则不仅要考虑使解析式有意义，还应
9、考虑它的实际意义,(2)求抽象函数的定义域 已知函数f(x)的定义域为a，b，则函数fg(x)的定义域是满足不等式ag(x)b的x的取值范围 已知函数fg(x)的定义域是a，b，则函数f(x)的定义域是xa，b时，g(x)的值域 5函数值域的求法(1)配方法，如y=x2+3x+1.(2)分离常数法，如.(3)换元法，如y=x+(x1),(4)判别式法，如.(5)不等式法，如(6)利用函数的性质(单调性，奇偶性，有界性)，如，利用sinx-1,1(7)导数法，如y=x3-12x+8，x-3,3 6奇函数、偶函数的性质(1)奇函数 图象关于原点对称；在关于原点对称的区间上的单调性相同；若在x=0处有定义，则f(0)=0.,(2)偶函数 图象关于y轴对称；在关于原点对称的区间上的单调性相反；f(-x)=f(x)=f(|x|),
