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函数的连续性,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,例4 证明,证,只须证明,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例5,解,2.可去间断点,例6,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如例6中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例7,解,例8,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续,其余各点处处间断.,在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,例9,解,例10 讨论,若有间断点判别其类型，并作出图形,解,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,2.区间上的连续函数;,3.间断点的分类与判别;,间断点,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,(见下图),第一类间断点,可去型,跳跃型,第二类间断点,无穷型,振荡型,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,
