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1、二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,2.8 函数的连续性,第二章,现实世界中很多变量是连续不断的.如气温、时间、,物体的运动等等，都是连续变化的.,这种现象反映在数学上就是连续性，,函数的连续性是微积分的又一重要概念！,可见,函数,在点,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,一、函数连续性的定义,若,在某开区间内每一点都连续,则称它在该,开区间内连续,或称它为该开区间内的连续函数.,在闭区间a,b上的连续函数的集合记作,例如,在,上连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其定义域内,连
2、续.,只要,都有,函数连续性的等价定义,对自变量x0的增量,有函数的增量,函数,在点 x0,连续有下列等价命题:,左连续,右连续,当,时,有,函数 y=f(x)在点 x0 连续的两种等价定义:,假设函数 f(x)在点 x0 的某临域内有定义.,的充要条件是,的充要条件是,例1.证明函数,在,内连续.,证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,这说明，对于连续函数，极限符号与函数符号,可以交换.,例如,注意：对于非连续函数，极限符号与函数符号,不一定可以交换.,若函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,而且,则称函数 f(x)在,在点 x=a 右连续，在点 x=b 左
3、连续,或称它为该区间上的连续函数.,闭区间a,b上连续.,在,在,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则,这样的点,下列情形之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为函数 f(x)的间断点.,在,无定义;,二、函数的间断点,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,显然,为其可去间断点.,(4),(5
4、),为其跳跃间断点.,1.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,2.设,时,提示:,在,x=0连续函数.,答案:x=1 是第一类可去间断点,练习题,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,一、连续函数的运算法则,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第二章,定理2.连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,连续的函数.(利用极限的四则运算法则证明),积,商(分母不为 0)运算的结果,仍是
5、一个在该点,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1,1 上也连续单调递增.,单调递增,(递减),也连续,一、连续函数的运算法则,在,上连续单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,定理3.（连续函数的复合函数是连续的）,在点 u0 连续，则复合函数,在点 x0 连续，即,定理3可修改为下面求复合函数极限的定理,定理4（复合函数求极限）,若函数,在点 x0 有极限，即,但,或者 在点 x0 无定义(即 x0 是可去间断点),又函数 f(x)点 a 连续，则复合函数,在点 x0,的极限存在，且为,若函数 f(x)连续，则f(x)一定连续.,反之，若f(
6、x)连续，函数 f(x)不一定连续.,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,的图像,设,均在a,b上连续,证明函数,也在a,b上连续,补例.,证:,根据连续函数运算法则,也在a,b上连续.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,二、初等函数的连续性,利用连续函数的复合函数的连续性求极限,例1.求,解:,原式,例2.求,解:令,则,原式,说明:当,时,有,利用连续函数的复合函数的连续性求极限,解:,原式,说明:若,则有,例3 求,例4 求,解:原式=,解,例4 求,考虑函数在 x=0 点的左右极限,所以原式=1.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,在 x=0 连续,则 a=,b=.,提示:,课本89页例题,例10 求,解,例11 求,解,课本94页-习题28,（2）求,解,（3）求,解,（4）求,解,（5）求,解,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,
