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1、投资学 第13章,投资分析（4）：Black-Scholes 期权定价模型,概 述,Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设8个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权,无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运动,B-S模型证明思路,ITO引理,ITO过程,B-S微分方程,B-S买权定价公式,1
2、3.1 维纳过程,根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。对于随机变量w是Wiener process，必须具有两个条件：在某一小段时间t内，它的变动w与时段满足t,（13.1）,2.在两个不重叠的时段t和s,wt和ws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！,（13.2）,有效市场,满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有,当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随机变量wt的满足,证明：,在连续时间下，由（13.1）和（13.2）得
3、到,（13.3）,（13.4）,所以，概率分布的性质,以上得到的随机过程，称为维纳过程。,13.2 ITO定理,一般维纳过程(Generalized Wiener process)可表示为,（13.5）,显然，一般维纳过程的性质为,一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当,若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程,B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例几何布朗运动来代表股价的波动,省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程,（13.6）,证券的预期回报与其价格无关。,ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过
4、程表示为（省略下标t）,令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可以表示为,（13.7）,证明：将（13.7）离散化,由（13.1）知,利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为,（13.8）,在连续时间下，即,因此，（13.8）可以改写为,（13.9）,从而,即x2不呈现随机波动！,（13.10）,由（13.10）可得,（13.11）,由（13.11）得到,（13.12）,由于x2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即,当t0时，由（13.9）可得,13.3 B-S微分方程,假设标的资产价格
5、变动过程满足,这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为,假设某投资者以份的标的资产多头和1个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且满足,则该组合的收益为,下面将证明该组合为无风险组合，在t时间区间内收益为,注意到此时不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于t较小（不采用连续复利），则,整理得到,B-S微分方程的意义,衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券价格波动率和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用风险
6、中性定价，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价格f。,若股票价格服从几何布朗运动,设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对数正态分布，即,13.4 几何布朗运动与对数正态分布,令,则,这样由伊藤引理得到,即,由（13.1）,则称ST服从对数正态分布，其期望值为,所以,13.5 B-S买权定价公式,对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日t的定价公式为,（1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为St,则T时刻的股票价格的期望值为,B-S买权定价公式推导,（13.13）
7、,（13.14）,由（13.13）和（13.14）得到,（13.15）,根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则,这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。,（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为,（13.16）,由于ST服从对数正态分布，其pdf为,（13.17）,第1项,第2项,（3）化简（13.17）中的第1、2项，先化简第1项,（13.18）,当前时刻价格，不是变量,（13.19）,将（13.19）与（13.18）内的第2个指数项合并，即,（13.20）,将（13.20）代入（
8、13.18）,下面，将利用变量代换来简化（13.21），不妨令,（13.21）,y的积分下限为,y的积分上限为,将dy与y代入（13.21），即有,这样就完成了第1项的证明。,（13.22）,下面证明B-S公式中的第2项，,首先进行变量代换，令,则z的积分下限,z的积分上限,将z和dz代入,（13.23）,则由（13.22）和（13.23）得到,其中,例如:当d1.96时,N(d)913.5%,B-S买权公式的意义,N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。SN(d1)=e-r(T-t)ST N(d1
9、)是ST的风险中性期望值的现值。,其次，是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值,-e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。假设两个N(d)均为1，看涨期权价值为St-Xe-rT，则没有不确定性。如果确实执行了，我们就获得了以St为现价的股票的所有权，而承担了现值Xe-rT的债务。期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等5个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函数，具有如下性质,FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stoc
10、k price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend Ratedecreases,Factors Influencing Option Values:Calls,So=100X=95r=0.10T=0.25(quarter)=0.50d1=ln(100/95)+(0.10+(05 2/2)/(050.251/2)=0.43 d2=0.43+(050.251/2)=0.18N(0.43)=0.6664，N(0.18)=0.5714,Call Option Example,Co=SoN(d1)-Xe-
11、rTN(d2)Co=100 X.6664-95 e-.10 X.25 X.5714 Co=13.70P=Xe-rT 1-N(d2)-S0 1-N(d1),Call Option Value,13.6 看跌期权的定价,利用金融工程的原理来看待期权平价关系考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产,组合A到期时刻T的收益,组合B到期时刻T的收益,两个组合具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在t时刻两个组合价值相等，否则就有套利，即,此为看涨看跌期权平价公式。,从几何图性上看，二者对影响期权的关键指
12、标都进行了负向变换，是关于纵向对称的。,13.7 有收益资产的欧式期权定价,当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（StI）代替B-S公式中的St,当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将,对于欧式期货期权，其定价公式为,其中：F为到期日期货的价格，即付出X，得到一个价值为F的期货,根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项,Delta,Theta,Vega,Rho,Gamma,13.8 B-S公式的边际分析,命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1),利用Delta进行套期保值,某人出售10份看涨期权并且持有6股股票，根据0.6的套期比率，股票价格每升高1美元，股票的收益增加6美元，同时看涨期权则损失100.6美元，即6美元。可见股票价格的变动没有引起总财富的变动，这就使头寸得到了套期保值。Delta 对冲=对冲比。,
