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1、第五章 习题解答,试用反证法证明绝热线与等温线不能相交于二点(注意:不一定是理想气体),分析:,题中已明确指出这是对于任何物质而言的，所以不能应用理想气体等温线和绝热线来证明它们不能相交于两点。由于热力学第一定律和热力学第二定律具有普适性和可靠性，只要假定在任意一个状态图上的绝热线与等温线相交于两点，然后证明这样必然违背热一律或热二律，那么这一命题必然是错误的。,证明：假设绝热线与等温线相交于两点A和B，从而围城一个闭合 区域，分两种情况讨论。,绝热线在等温线的下面。假设此循环是顺时针的，则此过程,对外做功，而在整个循环中只从单一热源吸热并全部用来对外做功，而不产生其它影响，这违反了热二律的开
2、尔文表述，因此，这种情况下，等温线不能和绝热线相交于两点,绝热线在等温线的上面。同样可以假设此循环是顺时针的，,但是它在B-C-A等温过程中放热，不吸热，它无法和热力学第二定律相联系，但是这样违背热力学第一定律。因为这是一个顺时针循环，它是对外做功的。注意到在A-D-B过程中是绝热的，在B-C-A过程中是放热的，所以在整个循环中即放热又对外做功，这样就违背了热一律。,如此题设得证。,如图所示，图中1-3为等温线，1-4为绝热线，1-2和4-3均为等压线，2-3为等体线。1molH2(理想气体)在1点的状态参量为V1=0.02m3，T1=300K；在3点的状态参量为V3=0.04m3，T3=30
3、0K。试分别用如下三条路径计算S3-S1：1-2-3;1-3;1-4-3.,分析：因为能够用实线表示的状态变化图线一般都可以认为是可逆变化过程，所以可用 来计算熵变。,解：1-2为等压过程：,2-3为等体过程，且H2为双原子分子，故：,所以1-2-3过程的熵变为：,1-3为等温过程，其熵变为：,1-4-3过程由1-4的绝热过程和4-3的等压过程组成，有：,联立上式，代入T1=300K，T3=300K，可得：,则1-4-3过程的熵变为：,可见：熵确为态函数，其变化仅由始末态决定，而与路径无关。,如图所示，一长为0.8m的圆柱形容器被一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在距左端0.3m处。活塞左
4、边充有1mol压强为5105Pa的氦气，右边充有压强为1105Pa的氖气，它们都是理想气体。将气缸浸入1L水中，开始时整个物体系的温度均匀地处于25。气缸及活塞的热容可不考虑。放松以后振动的活塞最后将位于新的平衡位置，试问这时 水温升高多少？活塞将静止在距气缸左边多大距离位置？物体系的总熵增加多少？,分析：,开始时活塞是固定的，放松以后活塞振动起来，说明开始时活塞两边压强不等，物质的量也不等。考虑到气缸内的氦气和氖气作为一个整体它不可能对外做功，而开始时整个物体系（气缸以及内部的气体和外面的水）的温度均匀地处于25，它不可能和外界交换热量。所以一开始气缸以及内部气体的内能就不变，温度不变，以后
5、温度应该仍然不变，谁的温度也不变。,解：水温保持25不变。,设初态氦气、氖气的状态参量为（S表示截面积）：,末态氦气、氖气的状态参量为(l表示静止时活塞距气缸左边的距离)：,由于物质的量和温度都不变，所以有：,整个气体的熵变等于氦气和氖气熵变之和。,水的比热容比是4.18KJKg-1K-1。1Kg0的水与一个373K的大热源相接触，当水的温度到达373K时，水的熵改变多少？如果先将水与一个323K的大热源接触，然后再让它与一个373K的大热源接触，求系统的熵变。说明怎样才可使水从273K变到373K而整个系统的熵不变。,分析：,由于前两问都是在温差不满足T/T1的条件下的热传递，因而是不可逆的
6、。应该设想水所经历的是另一个其始、末态都和他的初、末态相同的可逆过程。例如，水在等压条件下依次和一系列的温度从T1逐步上升到T2的热源相接触，相邻两热源之间的温差满足T/T1的条件。只有水达到新的平衡态后，才脱开原来的热源，再和下一个温度的热源相接触，使达到下一热源的温度如此使得水的温度也逐步从从T1上升到T2。这样就可以认为水在任何时刻的温度几乎都是处处相等的,它始终满足热学平衡条件，因而是可逆的。由于这两个可逆和不可逆过程的始末两态相同,因而熵变相同。,解：设水的初温T1,终温T3,水的定压比热容cP，则有:,整个系统的总熵变应为水的两次熵变和热源的两次熵变之和。设水的初温T1，323K热
7、源的温度为T2，373K热源的温度为T3。由于323K和373K热源处于恒温下，它们放出的热量分别为：,两个热源的熵变分别为：,水在两次传热过程中的熵变分别为：,整个系统的总熵变为：,可以看出在中，水和热源的总熵变为,整个系统的总熵变为：,可以看出在中，水和热源的总熵变为,注意到(2)式的总熵变小于(1)式的总熵变，可知增加一个中间温度(323K)的热源后，水和热源合在一起（它们是绝热系统）的总熵变减小了。可以估计到，中间温度的热源数越多，水和热源合在一起的总熵变就越小。显然，若要使水和热源合在一起的熵不变，应该使水所经历的是可逆过程，即按照前面分析中所描述的那样，使水与一系列温度相差无穷小的
8、热源相接触，使得水所经历的是可逆过程。按照熵增加原理，绝热可逆过程总熵不变。,5.3.5 有一热机循环，它在T-S图上可以表示为其半长轴及半短轴分别平行于T轴及S轴的椭圆。循环中熵的变化范围从S0到3S0，T的变化范围从T0到3T0。试求该热机的效率。,解：做出示意图,椭圆中心坐标为,椭圆半长、半短轴的长度分别为：,椭圆面积为,T-S图上顺时针循环面积为热机对外所做功，因而：,由图可见，341过程吸热，吸收的热量为该段循环曲线下的面积，故有：,热机效率为：,5.3.6 理想气体经历一正向可逆循环，其循环过程在T-S图上可表示为从300K、1106J/K的状态等温地变为300K、5105J/K的
9、状态，然后等熵地变为400K、5105J/K，最后按一条直线变回到300K、1106J/K的状态。（1）在T-S图上正确画出循环图；（2）求循环效率及它对外所作的功,解：T-S图上的循环过程如图示,12过程等温、放热；23过程等熵、绝热；,31过程方程为：,此过程是吸热过程，吸收的热量为：,系统在整个循环过程中对外作的功为T-S图中所围三角形1231的面积，即：,循环效率为：,绝热壁包围的气缸被一绝热活塞分隔成A、B两室。活塞在气缸内可无摩擦地自由滑动。A、B内各有1mol双原子分子理想气体。初始时气体处于平衡态，他们的压强、体积、温度分别为P0,V0,T0。A室中有一电加热器使之徐徐加热，直
10、到A室中压强变为2P0，试问：最后A、B两室内气体温度分别是多少？在加热过程中，A室气体对B室气体做了多少功？加热器传给A室气体多少热量？A、B两室的总熵变是多少？,分析：注意气缸和活塞都是绝热的。A对B的影响是通过活塞的做功实现的，而A、B的压强始终相等，A、B的总体积不变。,解：,B经历的是准静态绝热过程。设B的末态体积与温度分别为VB,TB；A的末态体积与温度分别为VA,TA。双原子分子理想气体的=7/5，则有：,所以B室温度为：,则A室温度为：,由于气缸和活塞都是绝热的，A室气体对B室气体做的功就是B室气体内能的增加（两室气体均为1mol），有：,加热器传给A室的热量等于A室气体和B室气体内能增量的和：,由理想气体熵变公式可得：,总熵变为：,某热力学系统从状态1变化到状态2。已知状态2的热力学概率是状态1的热力学概率的2倍，试确定系统熵的增量,分析：这是一个利用玻尔兹曼关系S=klnW来计算系统熵的习题,解：,一定质量的气体在某状态时的热力学概率为W1，问当其质量增大n倍时的热力学概率W2是多少？设两种情况下的温度和压强均相同。,解：,熵为广延量，因而当质量由,当质量为m时有：,当质量为 n m 时有：,
