矩阵论-Jordan标准形.ppt

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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束,数学科学学院 陈建华,矩 阵 论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.3 Jordan标准形,一、-矩阵,二、Jordan标准形,三、Jordan标准形简单应用,目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构-Jordan矩阵。,1.定义,设 P 是一个数域，是一个文字，作多项式环,P.,一个矩阵，如果它的元素是 的多项式，即,P 的元素,就称为-矩阵.,讨论-矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上,关于若尔当标准形的主要定理.,因为数域 P 中的数也是 P 的元素，所以在,-矩阵中也包括以数为元素的矩阵.,一、-矩阵,矩阵称为数字矩阵.,以下用 A()，B

2、()，等,表示-矩阵.,我们知道，P 中的元素可以作加、减、乘,三种运算,并且它们与数的运算有相同的运算规律.,而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法,与乘法，因此，我们可以同样定义-矩阵的加法,与乘法,它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.,把以数域 P 中的数为元素的,行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,因此,同样可以定义一个 n n 的-矩阵的行列式.,一般地，-矩阵的行列式是 的一个多项式,它与,数字矩阵的行列式有相同的性质.,例如,对于-矩阵的行列式，矩阵乘积的行列式,等于行列式的乘积，,这一结论，显然是对的.,既然有行列式，也就有-矩阵的子式的概念.,利用这个概念，我们

3、有秩和可逆矩阵等。,秩 如果-矩阵 A()中有一个 r(r 1),级子式不为零，而所有 r+1 级子式(如果有的话),全为零，则称 A()的秩为 r.,零矩阵的秩规定为零。,可逆矩阵 一个 n n 的-矩阵 A()称为可逆,的，如果有一个 n n 的-矩阵 使,A()B()=B()A()=E,(1),这里 E 是 n 级单位矩阵.,适合(1)的矩阵 B()(它,是唯一的)称为 A()的逆矩阵，记为 A-1().,定理 1 一个 n n 的-矩阵 A()是可逆的,充分必要条件是行列式|A()|是一个非零数.,证明,先证充分性.,设,d=|A()|,是一个非零的数.,A*()是 A()的伴随矩阵，

4、它也,是一个-矩阵，而,因此，A()可逆.,再证必要性.,设 A()可逆，则有,A()B()=B()A()=E,上式两边取行列式，得,|A()|B()|=|E|=1.,因为|A()|与|B()|都是 的多项式，所以由它,们的乘积是 1 可以推知，它们都是零次多项式，,也就是非零的数.,证毕,例1 求下列-矩阵的秩,秩为3,秩为2,例2 下列-矩阵中，哪些是可逆的？若可,逆求其逆矩阵.,初等变换的定义,定义 下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：,(1)矩阵的两行(列)互换位置；,(2)矩阵的某一行(列)乘以非零常数 c；,(3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的(),倍，()是一个多项式.,和数

5、字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.,2.-矩阵的Smith标准形,三种初等变换对应三个初等矩阵,同样地，对一个 s n 的-矩阵 A()作一次,初等行变换就相当于在 A()的左边乘上相应的 ss,初等矩阵；,对 A()作一次初等列变换就相当于在,A()的右边乘上相应的 n n 的初等矩阵.,初等矩阵都是可逆的，并且有,P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c)-1=P(i(c-1),P(i,j()-1=P(i,j(-).,由此得出初等变换具有可逆性：,设-矩阵 A()用,初等变换变成 B()，这相当于对 A()左乘或右乘,一个初等矩阵.,再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B(),就变回 A(

6、)，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由,B()可用初等变换变回 A().,我们还可以看出在第,二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这,也是为了使 P(i(c)可逆的缘故.,-矩阵的等价,定义-矩阵 A()称为与 B()等价，,可以经过一系列初等变换将 A()化为 B().,等价的性质:,等价是-矩阵之间的一种等价关系。,如果,-矩阵等价的条件：,矩阵 A()与 B()等价的充分必要条件是有一,系列初等矩阵 P1,P2,Pl,Q1,Q2,Qs 使,A()=P1 P2 Pl B()Q1Q2 Qs.,-矩阵的标准形,本段主要是证明任意一个-矩阵可以经过,初等变换化为Smith标准形.,引理,设-矩

7、阵A()的左上角元素 a11()0，,并且 A()中至少有一个元素不能被它除尽，那么,一定可以找到一个与 A()等价的矩阵 B()，它的,左上角元素也不为零,但是次数比 a11()的次数低.,证明,根据 A()中不能被 a11()除尽的元素,所在的位置，分三种情况来讨论：,1)若 A()的第一列中有一个元素 ai1()不能,被 a11()除尽，则有,ai1()=a11()q()+r(),其中余式 r()0，且次数比 a11()的次数低.,对 A()作初等行变换.,把 A()的第 i 行减去,第 1 行的 q()倍，得：,再将此矩阵的第 1 行与第 i 行互换，得：,B()左上角元素 r()符合

8、引理的要求，故 B(),即为所求的矩阵.,2)在 A()的第一行中有一个元素 a1i()不能,被 a11()除尽，这种情况的证明与 1)类似，但是,对 A()进行的是初等列变换.,3)A()的第一行与第一列中的元素都可以被,a11()除尽，但 A()中有另一个元素 aij()(i 1,j 1)不能被 a11()除尽.,设,ai 1()=a11()().,对 A()作下述初等行变换：,=A1().,矩阵 A1()的第一行中，有一个元素,ai j()+(1-()a1j(),不能被左上角元素 a11()除尽，这就化为已经证,明了的情况 2).,证毕,定理2 任意一个非零的 s n 的-矩阵A(),都

9、等价于下列形式的矩阵,其中 r 1,di()(i=1,2,r-1)是首项系数为 1,的多项式，且,di()|di+1()(i=1,2,r-1).,证明,经过行列调动之后，可以使得 A()的,左上角元素 a11()0，如果 a11()不能除尽 A(),的全部元素，,由,可以找到与 A()等价的,B1()，它的左上角元素 b1()0，并且次数比,a11()低.,如果 b1()还不能除尽 B1()的全部元素,由引理，又可以找到与 B1()等价的 B2()，它的,左上角元素 b2()0，并且次数比 b1()低.,如此,下去，将得到一系列彼此等价的-矩阵 A(),B1(),B2(),.,它们的左上角元素

10、皆不为零，而,且次数越来越低.,但次数是非负整数，不可能无止,境地降低.,因此在有限步以后，我们将终止于一个,-矩阵 Bs()，它的左上角元素 bs()0，而且,可以除尽 Bs()的全部元素 bij()，,bij()=bs()qij()，,对 Bs()作初等变换：,即,在右下角的-矩阵 A1()中，全部元素都是可以,被 bs()除尽的,因为它们都是 Bs()中元素的组合.,如果 A1()O，则对于A1()可以重复上述过,程，进而把矩阵化成,其中 d1()与 d2()都是首项系数为 1 的多项式,(d1()与 bs()只差一个常数倍数)，而且,d1()|d2()，,d2()能除尽 A2()的全部

11、元素.,如此下去，A()最后就化成了所要求的形式.,证毕,最后化成的这个矩阵称为 A()的标准形.,例3 用初等变换把下列-矩阵化为标准形.,行列式因子,在上一段，我们讨论了-矩阵的标准形，其,主要结论是：任何-矩阵都能化成标准形.,但是,矩阵的标准形是否唯一呢？,答案是肯定的.,为了证,明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念.,3.行列式因子与不变因子,不变因子,设-矩阵 A()的秩为 r，对于正整数 k，,1 k r，A()中必有非零的 k 级子式.,A(),中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式,Dk()称为 A()的 k 级行列式因子.,由定义可知，对于秩为 r 的-矩阵，行

12、列式,因子一共有 r 个.,行列式因子的意义就在于，它在,初等变换下是不变的.,行列式因子,性质,定理3 等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级,行列式因子.,证明,我们只要证明，-矩阵经过一次初等,行变换，秩与行列式因子是不变的.,设-矩阵 A()经过一次初等行变换变成 B(),f()与 g()分别是 A()与 B()的 k 级行列式因子.,我们证明 f()=g().,下面分三种情形讨论.,1)A()经初等行变换(1)变成 B().,这时 B(),的每个 k 级子式或者等于 A()的某个 k 级子式,者与 A()的某一个 k 级子式反号,因此 f()是B(),的 k 级子式的公因式，从而 f(

13、)|g().,2)A()经初等行变换(2)变成 B().,这时 B(),的每个 k 级子式或者等于 A()的某个 k 级子式,者等于 A()的某一个 k 级子的 c 倍,因此 f()是,B()的 k 级子式的公因式，从而 f()|g().,或,或,3)A()经初等行变换(3)变成 B().,这时 B(),中那些包含 i 行与 j 行的 k 级子式和那些不包含i 行,的 k 级子式都等于 A()中对应的 k 级子式；,B()中,那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 级子式，按 i 行分,成两部分，而等于 A()的一个 k 级子式与另一个,k 级子式的()倍的和，也就是 A()的两个 k,级子式

14、的组合.,因此 f()是 B()的 k 级子式的公,因式，从而 f()|g().,对于列变换，可以完全一样地讨论.,总之，如,果 A()经一次初等变换变成 B()，那么,f()|g().,但由于初等变换是可逆的，B()也可以经一次初,等变换变成 A().,由上讨论，同样应有,g()|f().,于是 f()=g().,当 A()的全部 k 级子式为零时，B()的全部,k 级子式也就为零；,反之亦然.,因此，A()与 B()既有相同的各级行列式因,子，又有相同的秩.,证毕,标准形的唯一性,标准形的行列式因子,设标准形为,其中 d1(),d2(),dr()是首项系数为1的多项,式，且 di()|di

15、+1()(i=1,2,r-1).,不难证明,在这种形式的矩阵中，如果一个 k 级子式包含的行,与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为,零.,因此，为了计算 k 级行列式因子，只要看由,i1,i2,ik 行与 i1,i2,ik 列(1 i1i2ik r),组成的 k 级子式就行了，,而这个k 级子式等于,显然，这种 k 级子式的最大公因式就是,定理4-矩阵的标准形是唯一的.,证明,设(1)是 A()的标准形.,由于A()与,(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，,因此，A()的秩就是标准形的主对角线上非零元,素的个数 r;,A()的 k 级行列式因子就是,于是,(3),这说明

16、A()的标准形(1)的主对角线上的元素是被,A()的行列式因子所唯一确定的，所以 A()的标,准形是唯一的.,证毕,不变因子,定义 标准形的主对角线上非零元素,d1(),d2(),dr(),称为-矩阵 A()的不变因子.,性质,定理5 两个-矩阵等价的充分必要条件是,它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的,不变因子.,证明,等式（2）与（3）给出了-矩阵的行,列式因子与不变因子之间的关系.,这个关系式说明,行列式因子与不变因子是相互确定的.,因此，说两,个矩阵有相同的各级行列式因子，就等于说它们有,相同的各级不变因子.,必要性已由定理3证明。,充分性是很明显的.,因为若-矩阵A()与B()

17、,有相同的不变因子，则 A()与 B()和同一个标准,形等价，因而它们也等价.,证毕,例4 试求下列矩阵的不变因子:,定义,现在我们假定讨论中的数域是复数域C.,上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量.,为了得到若尔当标准形，再引入初等因子。,把矩阵 A(或线性变换A)的每个次数大于零,的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，,所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计,算)称为矩阵 A(或线性变换 A)的初等因子.,4.初等因子,例如 设12级矩阵的不变因子是,(-1)2(+1)(2+1)2.,按定义，它的初等因子有 7 个，即,(-1)2,(-1)2,(-1)2,(+1),(+

18、1),(-i)2,(+i)2.,其中(-1)2 出现三次，+1 出现二次.,不变因子与初等因子的关系,首先，假设 n 级矩阵 A 的不变因子,d1(),d2(),dn(),为已知.,将 di()(i=1,2,n)分解成互不相同,的一次因式方幂的乘积：,则其中对应于 kij 1 的那些方幂,就是 A 的全部初等因子.,我们注意到不变因子有,一个除尽一个的性质，即,di()|di+1()(i=1,2,n-1),从而,因此在 d1(),d2(),dn()的分解式中，属于同,一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即,k1j k2j knj(j=1,2,r).,这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子

19、中,方次最高的必定出现在 dn()的分解式中，方次次,高的必定出现在 dn-1()的分解式中.,如此顺推下,去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子,在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.,上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩,阵的级数唯一地作出不变因子的方法.,设一个 n 级,矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将,同一个一次因式(-j)(j=1,2,r)的方幂的,那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的,个数不足 n 时，就在后面补上适当个数的 1，使得,凑成 n 个.,设所得排列为,于是令,则 d1(),d2(),dn()就是 A 的不变因子.,这也说明了这样一个事

20、实：如果两个同级的数,字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变,因子，因而它们相似.,反之，如果两个矩阵相似，,则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初,等因子.,综上所述，即得：,定理8 两个同级复数矩阵相似的充分必要条是它们,有相同的初等因子.,初等因子的求法,初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.,但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而,方便一些.,在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明,关于多项式的最大公因式的一个性质：,如果多项式 f1()，f2()都与 g1()，g2()互素，则,(f1()g1(),f2()g2()=(f1(),f2()(g1(),g2().,事实

21、上，令,(f1()g1(),f2()g2()=d(),(f1(),f2()=d1(),(g1(),g2()=d2().,显然，,d1()|d(),d2()|d().,由于(f1(),g1()=1,故(d1(),d2()=1，因而,d1()d2()|d().,另一方面，由于,d()|f1()g1(),可令,d()=f()g(),其中 f()|f1(),g()|g1().,由于,(f1(),g2()=1,故(f(),g2()=1.,由 f()|f2()g2()又得 f()|f2()，因而,f()|d1().,同理 g()|d2().,所以,d()|d1()d2().,于是,d()=d1()d2()

22、.,证毕,引理 设,如果多项式 f1()，f2()都与 g1()，g2()互素，,则 A()和 B()等价.,下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，,它不必事先知道不变因子.,定理9 首先用初等变换化特征矩阵 E-A,为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不,相同的一次因式方幂的乘积，,式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 A 的全,部初等因子.,则所有这些一次因,证明,设 E-A 已用初等变换化为对角形,其中每个 hi()的最高项系数都为 1.,将 hi()分,解成互不相同的一次因式方幂的乘积：,我们现在要证明的是，对于每个相同的一次,因式的方幂,在 D()的主对角线上按递升幂次排列

23、后，得到的,新对角矩阵 D()与 D()等价.,此时 D()就是,E-A 的标准形而且所有不为 1 的,就,是 A 的全部初等因子.,为方便起见，先对-1 的方幂进行讨论.,令,于是,而且每个,都与 gj()(j=1,2,n)互,素.,如果有相邻的一对指数 ki1 ki+1,1,则在 D(),中将,与,对调位置，而,其余因式保持不动.,根据,与,等价.,从而 D()与对角矩阵,等价.,然后对 D1()作如上的讨论.,如此继续进行,直到对角矩阵主对角线上元素所含-1 的方幂是,按递升幂次排列为止.,依次对-2,-r 作,同样处理，最后便得到与 D()等价的对角矩阵,D()，它的主对角线上所含每个

24、相同的一次因式,的方幂，都是按递升幂次排列的.,证明,例5 已知-矩阵 A()的初等因子，秩 r 与,阶数 n，求 A()的标准形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)解,把 A()的初等因子,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 d1(),d2(),d3(),d4()是 A()的不变因子.,以 A()的标准形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)解,把 A()的初等因子,按降幂排成如下两行，每行 3 个因子(因 A()的秩,令,等于 3):,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 d1(),d2(),d3()是 A()的不变因子.,所以,A()的标准形为,例6 求下列矩

25、阵的不变因子，行列式因子与,初等因子,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)解,把 E-A 化为标准形,初等变换,所以不变因子为,行列式因子为,初等因子为,(2)解,把 E-B 化为标准形,初等变换,所以不变因子为,行列式因子为,初等因子为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、Jordan标准形,Jordan标准形的存在定理,任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下Jordan标准形：,其中,称为Jordan块矩阵。,为A的特征值，可以是多重的。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：（1）2阶以上Jordan块矩阵一定不能对角化；,（4）Jordan标准形是唯一的，这种唯一性是指：

26、各Jordan块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan块矩阵的位置可以变化。,（5）Jordan标准形中各Jordan块矩阵的阶数均为1时，即为对角形矩阵。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Jordan 矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan 子块的集合惟一。A相似于BJA相似于JB,元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan 矩阵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.Jordan标准形的求法,方法一 特征向量法,P 9-10,注：1.属于某一个特征值的若当块个数由它的几何维数确定。2.该方法只适用于阶数较低的矩阵,机动 目录 上页 下页 返回 结

27、束,例7 求下列矩阵的Jordan标准形。,1的几何维数是1，故它对应一个若当块。,2的几何维数是2，故它对应两个若当块。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法二 初等因子法,（1）求出特征多项式,的初等因子组，设为,（2）写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个Jordan块矩阵）,（3）合成Jordan矩阵：,例8 求下列矩阵的Jordan标准形。,由例6 A初等因子为：,B初等因子为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法三 行列式因子法,（1）求E-A 的各阶行列式因子,（2）求E-A 的各阶不变因子,（3）求E-A 的初等因子，确定Jordan标准形。,机动 目录 上页

28、 下页 返回 结束,例9 求下列矩阵的Jordan标准形。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第1-4行与第1、2、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第1、2、3、5行与1、3、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这两个子式的公因式为1，故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第1-5行与第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第1、2、3、5、6行与第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其它五阶子式均含,因式，故,特征值行列

29、式为,，从而有,初等因子组为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相应的Jordan块为,Jordan标准形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、Jordan标准形的变换与应用,1.Jordon标准形变换矩阵的求法,目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA，使AP=PJA分析方法：在定理 的基础上逆向分析矩阵JA 和P的构成。求法与步骤：,矩阵A和JA的特征值相等,Jordan链条，y2，y nj,特征向量,广义特征向量,细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上，有,完整步骤：,由特征值i 的代数重数确定主对角线元素是的 i 的 Jordan 矩阵J(i)的阶数。由特征值i 对应的线性

30、无关的特征向量的个数确定 J(i)中Jordan 块的个数（特征向量法）由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10(p15，例1.9),求矩阵A，B 的 Jordon标准形及变换矩阵。,以下见教材P15-16,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.Jordan标准形的幂及多项式,关键是若当块的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：幂零矩阵、二项式定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设有多项式 则,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下

31、页 返回 结束,则,计算十分方便,无需再采用矩阵乘积.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11(p17，例1.10),已知 求Ak,分析,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12(p18，例1.11),求解一阶线性微分方程组,分析,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一阶线性微分方程,-矩阵可逆的条件,矩阵可逆的充分必要条件是它与单位矩阵等价.,矩阵A()是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.,矩阵相似的条件,定理 设 A,B 是数域 P 上两个 n n 矩阵.,A 与 B 相似的,E-A 和 E-B 等价.,充分必要条件是它们的特征矩阵,推论 矩阵 A 与 B 相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子.,线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言 David.C.Lay,