Jordan标准型λ-矩阵.ppt

《Jordan标准型λ-矩阵.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Jordan标准型λ-矩阵.ppt（67页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第2章：Jordan标准形介绍,Jordan Canonical Form,第2章：Jordan标准形介绍,问题：对线性空间中的线性变换T，求一组基1，2，n和矩阵J，使 T:1，2，n J矩阵J 尽可能简单。矩阵J的结构对任何变换可行内容：首选A为对角形 线性变换的对角化问题。建立J 一般的结构 Jordan标准形理论。Jordan方法及其应用方法：用矩阵的相似化简研究问题 Jordan化方法重点：,2.1 线性变换的对角表示,背景：T(1 2 n)=(1 2 n),一、变换T的特征值与特征向量定义(p35，定义2.1)求解分析：(p35，定理2.1),(12 n)线性无关Ti=ii；L i

2、是不变子空间,(2.1),则称为 T 的特征值，并称 为T 的属于（或对应于）特征值的特征向量。,定义2.1 设 T 是数域 F 上线性空间V 的一个线性变换，如果存在 F以及非零向量 V 使得,设V 是数域 F上的 n 维线性空间，是V 的一组基，线性变换T在这组基下的矩阵为A。如果是T的特征值，是相应的特征向量，则,把它代入(2.1)，得,由于 线性无关，则,特征向量 的坐标 x 满足齐次线性方程组,因为,所以,即齐次线性方程组(2.4)有非零解。方程组(2.4)有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵行列式为零，即,定义2.2 设A是数域 F上的 n 阶矩阵，是一个文字，矩阵 称为A 的特征

3、矩阵，其行列式 称为A 的特征多项式。方程 称为A的特征方程，它的根称为A的特征根（或特征值）。以A的特征值 代入齐次线性方程组(2.4)所得的非零解 x 称为A对应于 的特征向量。,特征值 作为特征方程的根的重数称为 的代数重数.,线性变换T 与它在V的一组基下的矩阵的特征值是相同的.,特征向量呢,?,A的特征值就是T的特征值 A的特征向量是T的特征向量的坐标,例题1(p37，例题2.1)3、特征向量的空间性质特征子空间：特征子空间的性质：(p36，定理2.2)Vi是不变子空间i j，则ViVi=0 若i是ki重特征值，则1dimViki 推论：若i是单特征值，则dimVi=1V1+V2+V

4、s=V1V2Vs V1V2Vs Vn（F）,设 是线性变换T 的任一特征值，记,T,线性变换T 对应于特征值 的特征子空间.,则,设 是矩阵 的任一特征值，记,几何重数.,定理2.1 设 F，则,其中 是A的所有k 阶主子式之和,特别地,定理2.2 设 F，是A 的特征值，则,子式,顺序主子式,例1.设,矩阵 A 在控制论中称为友矩阵或相伴矩阵，求A 的特征多项式。,解:记,对di按第一行展开，有,由上式逐次递推得,定理2.3 如果 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则,(1)A与B 有相同的特征多项式；,(2)A与B 有相同的特征值；,(3)tr(A)=tr(B).,定理2.4 设 是线性变换T

5、（或矩阵A）的r 个互不相同的特征值，是对应于 的特征向量，则 线性无关。,则 为 的特征值.,对线性变换也有类似的结论.,二、线性变换矩阵对角化的充要条件,T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。dimVi=n dimVi=ki,定理2.4(p39),T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。,例题2 已知1，2，3 是空间V3（F）的基，T是空间上如下定义的线性变换，T（1）=1 T（2）=2 2 T（3）=1+t 2+2 3,讨论：t为何值，T有对角矩阵表示,例题3 证明幂等变换(T2=T)有对角矩阵表示。,2.2 Jordan 矩阵介绍,目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构-Jor

6、dan矩阵。一、Jordan 矩阵Jordan 块(p40，定义2.3)形式：确定因素：Jordan 块矩阵的例子：,值矩阵的阶数,例题1 下列矩阵哪些是Jordan块？,形式：Jordan矩阵举例特点,元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan 矩阵,2 Jordan 矩阵,3 Jordan 标准形定理2.5(p41)含义：,Jordan 矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan 子块的集合惟一。A相似于BJA相似于JB,二、方阵A的Jordan 标准形的求法,目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA，使AP=PJA分析方法：在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA 和

7、P的构成。求法与步骤：,矩阵A和JA的特征值相等,细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上，有,Jordan链条，y2，ynj,特征向量,广义特征向量,方法步骤：,由特征值i 的代数重数确定主对角线元素是的 i 的 Jordan 矩阵J(i)的阶数。由特征值i 对应的线性无关的特征向量的个数确定 J(i)中Jordan 块的个数由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA,例题1(p44，例题5)例题2(p45，例题6),例题3 将矩阵A化为Jordan 矩阵。,例题4(p46，例题7),三、-矩阵及其在相抵下的标准

8、形,3.1-矩阵的基本概念,3.2-矩阵的初等变换与等价,3.3-矩阵在等价下的标准形,3.1-矩阵的基本概念,定义3.1 设 是数域F上的多项式，以 为元素的 矩阵,称为多项式矩阵或-矩阵，多项式 中的最高次数称为A()的次数，数域 F上-矩阵的全体记为F。,设 F，若则称A()与B()相等，记为A()=B()。,-矩阵的运算：,-矩阵行列式的性质,利用行列式，可定义子式和代数余子式。,减法,数量乘法,乘法,转置,加法,n 阶-矩阵的行列式,对n阶-矩阵A(),B(),有|A()B()|=|A()|B()|,定义3.2 设 F，如果A()中有一个 r 阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果有

9、的话）全为零，则称A()的秩为 r，记为 rank(A()=r。,定义3.3 设 F，如果存在一个n 阶-矩阵B()使得,则称-矩阵A()是可逆的，并称B()为A()的逆矩阵，记作。,3.2-矩阵的初等变换与相抵,定义3.4 下列三种变换称为-矩阵的初等变换：,（1）-矩阵的两行（列）互换位置；,（2）-矩阵的某一行（列）乘以非零常数 k；,（3）-矩阵某一行（列）的 倍加到另一行（列），其中 是的多项式。,对单位矩阵施行上述三种初等变换便得相应的三种-矩阵的初等矩阵P(i,j)，P(i(k)，P(i,j()，即,初等矩阵都是可逆的，并且,初等矩阵行列式都是非零常数.,初等变换的表示,i,j表

10、示第i,j行（列）互换位置；,i(k)表示用非零常数 k 乘第 i 行（列）；,i+j()表示将第 j 行的 倍加到 第i行;,定义3.5 设 F，如果A()经过有限次的初等变换化为B()，则称-矩阵A()与 B()等价（相抵），记为。,i+j()表示将第 i列的 倍加到第j列.,定理3.2 设 F，则A()与B()等价的充分必要条件是存在 m 阶初等矩阵 与 n 阶初等矩阵 使得,注意:,等秩的两个矩阵未必等价.,等价的两个矩阵行列式的只相差一个非零常数.,定理3.3 设 F，且，则 等价于如下“对角形”矩阵,其中 是首项系数为1的多项式，并且。,3.3-矩阵在相抵下的标准形,定理3.3中的

11、“对角形”矩阵称为-矩阵 在等价下的标准形或Smith标准形。,定义3.6-矩阵 F 的 Smith 标准形“主对角线”上非零元 称为 的不变因子。,例1.求下列矩阵的相抵标准形及不变因子,一般的,有:,4.3 矩阵的行列式因子和初等因子,定义4.1 设 F 且，对于正 整数，的全部 k 阶子式的最大公因式 称为 的 k 阶行列式因子，记为。,行列式因子是首项系数为1的多项式,定理4.1 相抵的-矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。,由定理4.1知，任意-矩阵的秩和行列式因子与其 Smith 标准形的秩和行列式因子是相同的。,经一次初等变换后，任意-矩阵的秩和行列式因子均不变,证明,同时含

12、有第i，j行和不含第i行,含有第i行不含有第j行,设-矩阵 的Smith标准形为,其中 是首项系数为1的多项式，并且。,容易求得 的各阶行列式因子如下：,于是有,从而得如下结论,其余的i阶子式都为0，i=1,2,.,r.,推论4.1,定理4.2-矩阵 的 Smith标 准形是唯一的。,行列式因子及不变因子均唯一.,定理4.3 设 F，则 与 等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同的不变因子。,行列式因子与不变因子相互完全确定.,定理4.4 设 F，则 可逆的充分必要条件是 可表示为一系列初等矩阵的乘积。,证明,定理4.5 设 F，则 与 等价的充分必要条件是存在两个可逆-矩

13、阵 F与 F 使得.,下面再引进-矩阵的初等因子。设-矩阵 的不变因子为，在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：,其中 是互异的复数，是非负整数。,定义4.2 在不变因子的分解式中，所有指数大于零的因子,称为-矩阵 的初等因子。,因为,，则,定理4.6 设 F，则 与 等价的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子。,秩及初等因子与不变因子可相互唯一确定.,秩确定了不变因子的个数，,同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方幂次数最高的在 中，次高的在 中，依次类推下去，确定所有的不变因子.,-矩阵的秩不小于其初等因子中同一一次因式的方幂出现的最大个数.,例1.,定理4.7 设-矩阵,为

14、块对角矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。,证明,定理4.7 设-矩阵,为块对角矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。,证明,为块对角矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。,证明,先证明 与 的全部初等因子都是 的初等因子,定理4.7 设-矩阵,为块对角矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。,证明,定理4.7 设-矩阵,为块对角矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。,证明,证明除 与 的初等因子外，再没有别的初等因子.,定理4.7 设-矩阵,定理4.8 设-矩阵 等价于块对角矩阵,则 各个初等因子的全体就是 的全部初等因子。,2.3

15、 最小多项式(minimal polynomials),讨论n 阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式（Cayley 定理）最小多项式Jordan标准形的应用相似不变性Jordan化的方法,一、矩阵多项式定义,2.性质（定理2.7）AX=0 X g(A)X=g(0)XP-1 AP=B P-1 g(A)P=g(B),3 矩阵多项式 g(A)的计算方法：,mr,g（J）的结构特点：由第一行的元素生成,Jordan块,例题1 设对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。解,二、矩阵的化零多项式(Annihilating polynomials of Matrices),问题

16、：AFnn，A0，是否存在非零多项式g（），使 得 g(A)=0？化零多项式（P.52）如果 g(A)=0，则g()被称为矩阵A的化零多项式。要点：矩阵A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。g（A）=0 的决定因素。存在性问题。Cayley-Hamilton 定理（P.52，定理、2.7）：AFnn，f()=det(IA)，则f(A)=0。Cayley 定理的应用举例：使Ak(kn)降阶至不超过n-1次的多项式。f（0）0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。对线性变换T，f(T)=0，即f（T）为零变换。,三、最小多项式,1 定义（P.54，定义2.5）mA（）是最小多项式,mA（A）=0mA

17、（）在化零多项式中次数最低。mA（）最高次项系数是1。mA（）整除任何化零多项式,2 mA（）的结构：设f（）=IA=,定理2.8：mA（）=,定理2.9：mA（）=是i对应的Jordan块的指数。,P.54,3 变换对角矩阵表示的条件定理2.10：线性变换T可以对角化的充要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积。例题1（P.56，eg10）例题2 设A R44，mA（)=,求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。,例题3 设 是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。,相似问题中的一些矩阵结果,1.幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（idempotent）：A 2=A幂零矩阵（nilpo

18、tent）：A0，k为正整数，Ak=0乘方矩阵（involutary）：A 2=I,A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零。,A为乘方矩阵的充要条件是A相似于矩阵,A为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵,2(p47，例题8)设A为阶方阵，证明矩阵A和AT 相似。证明思想：证明A和AT 相似 证明 Jordan 矩阵JA和JAT相似 证明JA和JAT的Jordan 块J和JT相似。证明方法：取逆向单位矩阵S，证明：SJ=JTS（backward identity）,3、矩阵A，AT，A 和AHA,设A为n 阶方阵，则下列结果成立：矩阵A相似于矩阵AT矩阵A相似于矩阵AH的充要条件是矩阵的非实数特征值对应的Jordan 块以共轭对出现。矩阵AHA相似于矩阵AAH,4.设矩阵AFmn，矩阵BFnm，则AB和BA的非零特征值相同。,讨论：若A、B都是方阵，AB和BA的特征多项式是否相同？AB和BA的最小多项式是否相同？AB和BA是否相似？,