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1、张量分析初步,第三节 张量分析,第一节 指标符号,第二节 张量的定义和代数运算,符号推导过程中，概念要清楚,初步,参考教材：弹性力学，陈国荣编著，河海大学出版社,抽象的意义-突破人想象力的局限,1、代数学：代数X既不是1、2、3，又可以是1是2是32、微分方程：同一方程既可以描述热传导，也可以描述化学扩散3、抽象空间：哈密顿空间、系综相空间4、指标符号系统：矢量与张量,问题的提出,自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平衡方程）坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质，并且相关表达式冗长,如何解决?,引入张量方法,A1 指标符号,下标符号 i 称为指标，n 为维数指标 i 可以是下标
2、，如 xi 也可以是上标，如 xi,记作,指标的取值范围如不作说明，均表示从13,通过指标轮换，用1项表示很多项，简洁！,采用指标表示的符号系统称为指标符号，一般采用下标,xi（i=1,2,3）x1，x2，x3 x,y,zui（i=1,2,3）u1，u2，u3 u,v,w,一若干约定 哑标和自由标,1.Einstein求和约定,凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标或哑标。如：,又如：,重复不止一次的指标，求和约定失败,求和约定仅对字母指标有效，如,同一项内二对哑标应使用不同指标，如,注意：,1,2,3,4,哑标可以换用不同的字母指标
3、,2.求导记号的缩写约定,k,二维问题 平衡微分方程的指标表示,3.自由指标,定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如,j 为自由指标,j=1,j=1,j=1,j=2,j=3,j=1,j=1,注意：,同一个方程中各项的自由指标必须相同,不能单独改变某一项的自由指标，但可以同时改变所有项的自由指标,1,2,wrong,right,如：,二克罗内克（Kronecker-）符号,定义：,由定义,特殊的指标符号,当克罗内克符与其它项连乘时，可作指标替换,性质：,三Ricci 符号,定义：,共27个分量，亦称为排列符号或置换符号,即：,特殊的指标符号,矩阵的行列式可表示为:,A2 张量的定义和 代数运算,
4、说明,任意矢量可以表示为基矢量的线性组合,1,2,基矢量不是唯一的,1.矢量的基本运算,(1)点积,基矢量点积,任意两矢量的点积,1,2,投影,1,(2)叉积,基矢量的叉积,由于,特别地：,（比较：,）,两个任意矢量的叉积,2,(3)混合积,基矢量混合积,故也有定义,1,置换符号就是基矢量的混合积,矢量混合积,表示的是以 为边长的平行六面体的体积。,2,(4)并矢（并乘）,定义：,展开共9项，可视为并矢的基,为并矢的分解系数或分量,2.平面笛卡儿坐标系的旋转变换,互为逆矩阵,互为转置矩阵,为正交矩阵,引用指标符号：,由,又,互为逆矩阵,说明,1,2,矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律,基
5、矢量具有与坐标分量相同的变换规律,3.三维情况(三维坐标系旋转),考虑一位置矢量,同理,同二维问题，可得,（正交性）,可试证：,4.张量定义,定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量,自由指标数目n称为张量的阶数，对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。,采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）,可写成上式的量也称为张量（第二种定义）,基矢量的坐标变换符合前述要求,标量：零阶张量,矢量：一阶张量,张量：二阶张量,讨论,1,2,上述表达式具有不变性特征；,张量分量 与坐标系有关；,3,在坐标变换时遵循相同的变换规律,问题的提出,自然法则与坐标无关（直角坐标与极坐标下的平衡方程
6、）坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质，并且相关表达式冗长,如何解决?,引入张量方法,1.张量的数乘,张量代数,2.张量的加法,3.矢量与二阶张量的点积,1,2,左点乘：,右点乘:,点乘得到的新张量比原张量低一阶,张量代数,1,左点乘：,3.矢量与二阶张量的点积,张量代数,点积相当于指标缩并，导致张量阶数降低,二阶张量相当于一个线性变换，或空间转移,张量代数,4.矢量与二阶张量的叉积,1,左叉乘：,叉乘得到的新张量与原张量同阶,2,右叉乘:,张量代数,4.两个张量的点积,两个二阶张量点积得到一个新二阶张量，相当于矩阵相乘,两个任意阶张量点积得到一个新张量，阶数是两个原张量之和减2,
7、张量代数,5.两个张量的双点积,两个任意阶张量双点积得到一个新张量，阶数是两个原张量之和减4,张量代数,6.张量的缩并,张量缩并后得到一个新张量，阶数较原张量低二阶,二阶张量的“迹”，就是在其并矢的两个矢量间取点积,张量代数,7.张量的转置,对于对称张量，一定可以找到三个互相正交的主方向,应力张量与应变张量均为对称的二阶张量,张量代数,7.张量的转置,几种常用的二阶张量,1.单位张量,2.置换张量,以置换符号为分量的三阶张量,3.逆张量,并非所有张量都可逆，有逆存在的张量称为可逆张量,几种常用的二阶张量,4.正交张量,正交张量对应的线性变换保持矢量长度和内积不变,正交张量对应的线性变换代表一个
8、转动,A3 张量分析,梯度,标量场的梯度是一个向量场，标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向。,对单变量实值函数，梯度只是导数，如应变。,图中标量场是黑白的，黑色代表大的数值，蓝色箭头代表梯度方向。,散度、旋度,散度是将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上，描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点。,旋度表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度，这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。,力学中：,几何方程与位移场的梯度有关,转动量与位移场的旋度有关,平衡方程与应力场的散度有关,1、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子),梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子,可以表示为:,可以证明,Hamilton算子具有张量的属性,相当于一阶张量。,哑标,2、梯度,1,标量场,为一阶张量矢量,2,张量场,（1）左梯度,（2）右梯度,并乘,3、散度,1,矢量场,为一标量，反映“发源”或“汇聚”,2,张量场,（1）左散度,（2）右散度,4、旋度,1,矢量场,2,张量场,（1）左旋度,（2）右旋度,二.高斯Gauss公式,式中，S是空间体积的封闭边界面，ni为边界面S的外法线方向余弦。,讨论：,1、标量场,2、矢量场,推广到任意阶张量的情形：,其不变性记法为:,称为广义高斯公式，或称散度定理。,3,
