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1、内 容,第一章 函数(Function)与极限(Limit)第二章 导数(Derivative)和微分第三章 导数的应用第四章 不定积分(Integral)第五章 定积分及其应用,1,2,第一章 函数和极限,1.1 预备知识 一.集合(Set)一切数学的基础 二.实数(Real Number)在微积分中，数就是指实数1.2 函数(Function)函数是微积分学的运算和研究对象1.3 极限(Limit)1.4 函数的连续性,1.1 预备知识,一、集合(Set)1.集合及其表示法 例.厦大2010级全体学生构成一个集合 所有大于0小于1的数构成一个集合 定义(Definition)集合是指具有某
2、种属性的事物的全体;组成这个集合的事物称为该集合的元素。我们通常用大写字母 A，B，C，表示集合，用小写字母 a,b,c,表示集合中的元素。,3,元素a属于集合A:记作 元素b不属于集合A:记作例.若A是全体正数组成的集合，则，。例.”厦大2010级全体新生中个子高的同学”是否构成一个集合？,4,命题(Proposition)集合元素的性质:,1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合。2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数(Nature Number,记为)。3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。例.如写成1，1，2，等同于1，2
3、。,5,命题(Proposition)集合元素的性质:,4.无序性：例.1,2,2,1是同一个集合。5.纯粹性和完备性：例.给定集合A：A是全体正数组成的集合。集合A 中所有的元素都要符合x0(纯粹性);所有符合x0的数都在集合A中(完备性).,6,7,集合的表示：,（1）列举法,列举法优点：简明清楚,例.A=a，b，c，d，e 为5元集。,列举法缺点：有些集合无法表示,列举法适用范围：包含有限个元素的有限 集或在没有歧义情况下无限个可排列的元素的集合。,小于10的正整数集合：B=1,2,3,9,8,（2）描述法,例.,是全体正数所组成的集合。,是直角坐标平面上的一条直线。,集合的表示：,9,
4、定义.由有限个元素组成的集合称为有限集；由无限个元素组成的集合称为无限集；不含任何元素的集合称为空集，记作。例.大于一切自然数的数构成空集。表示独点集。为n元集。自然数集 为无限集。,10,2 集合间的关系与运算,子集 设A和B都是集合，如果，那么就说A是B的子集，,定义.设A和B都是集合，记作 相等。,例.,11,例题：,(1)给定集合：,试判断它们之间是否存在包含或相等的关系。,答：,(2)判断：,集合A=x|x1是空集,3.空集是一切集合的子集,2.空集属于任何集合,12,集合间的运算,定义.设A、B是两集合，则,交“AB”,xxA且xB,并“AB”,xxA或xB,差“AB”,xxA但x
5、B,等价 AB 一一对应的两个集合等价,与自然数集合N等价的集合称为可列集 例.偶数集与奇数集都为可列集，且等价。,定义 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个 集合的子集，则称这个集合为全集，记作：I。如果，为集合B在全集I中的余集(或补集)。,13,（4）对偶原理：,（3）分配律：（AB)C=(A C)(B C)（AB)C=(A C)(B C),（5）,A(A B)=A,A(AB)=A,定理(Theorem),（1）交换律：A B=BA，,AB=BA,（2）组合律：（AB)C=A(B C),(A B)C=A(B C),14,二、实数,1.实数与数轴,全体自然数(Natural numb
6、er)的集合,全体有理数(Rational number)的集合,全体整数(Integer)的集合,全体实数(Rational number)的集合,数轴是具有方向、原点和单位长度的有向直线。实数与数轴上的点是一一对应的.,15,2.绝对值,常用的绝对值性质 及不等式:,(2),(1),(3),16,2.区间(Interval),称为开区间,称为闭区间,称为左闭右开区间,称为左开右闭区间,17,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,18,定义,邻域的半径.,左邻域：,右邻域：,3.邻域,19,定义,设有一个对应规则f,使每个数xD，,都有一个(只有一个)实数
7、y,与之对应，则称这个对应规则f 为定义在D上的一个函数关系，或称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)，xD.x叫做自变量，y叫做因变量。集合D称为函数的定义域，也可以记做D(f),值域记作Z(f)。,1.2初等函数一、函数的概念,若D是一个非空实数集,20,注意：,如,就不是同一个函数，为什么？,2求定义域的方法：,(1)应用题由实际意义确定；例.从甲地到乙地，行李收费如下：每公斤收费2元，10公斤起运。设行李重为x,以f(x)记其运费，则 f 是一函数：,f 的定义域是,(2)形式题就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。,1.当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数
8、。,看一下课本第6页例1,例.,21,函数表示法,（一）三种表示法,1、公式法：例如y=sinx2、表格法：如例13、图表法：如例2,例1.设,则右表定义了一个函数f.,例2.,22,（二）分段函数,一般在定义域的不同范围有不同的表达式,例如：,23,常用的分段函数还有：,(1)符号函数,24,(2)取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数,25,有理数点,无理数点,x,y,o,(3)狄利克雷(Dirichlet)函数,26,(4)最大值和最小值函数,27,1.单调函数(Monotone Function),二、具有某种特性的函数,28,29,有界(Bounded),无界(Unbounded)
9、,2.有界函数(Bounded Function),s.t.(such that),30,3.奇(偶)函数,偶函数(Even Function),y,x,o,x,-x,奇函数(Odd Function),31,4周期函数(Periodic Function),（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,看一下课本P7例2,32,三、隐函数，反函数与复合函数,1.隐函数(Implicit Function),隐函数的显化,33,注1：习惯上把x作为自变量，y作为因变量，因此把y=f(x)的反函数记为,如果设函数,的定义域为,，值域为,如果对于,中的每一个,，在,中都有满足关系,的唯一的数,与之对
10、应，则称这样的对应法则,为,的反函数，记为,注2：求反函数的步骤,2.反函数,34,注3：函数与反函数的关系：,1.直接函数的定义域（或值域）是其反函数的值域（或定义域）;,35,例:求下列函数的反函数,36,3复合函数,引入：设有函数 y=u2 和函数 u=1-sinx,则 y=(1-sinx)2,是两者的复合函数。,一般地:,若函数y=f(u)的定义域为D（f),u=g(x)的值域为Z(g),且Z(g)D(f),其中x为自变量,y为因变量，u称为中间变量。,注1：函数还可进行三重，四重和多重复合。,则称y=f（g(x)）为复合函数。,37,注2：,条件Z(g)D(f)必不可少，否则两个函数
11、就不一定能构成一个复合函数。,和u=2+x2,就不能构成一个复合函数。,(值域为2,+)，定义域 为-1，1),如y=arcsinu,看一下课本P9例3,38,（一）基本初等函数,四、基本初等函数与初等函数,想一想这些函数的定义域和值域和函数图象.,看一下课本P11例4；P12例5,39,（二）初等函数,由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合所构成，,并可用一个式子表示的函数称初等函数。,前面讨论过的函数都是初等函数。今后本课程讨论的函数除分段函数和变上限函数以外，主要都是初等函数。,例1,复合而成的复合函数，,那就是说，原函数与,是同一个函数，因此它也是初等函数。,一般来说，分段函数不是初等函数，但例1所示的分段函数是初等函数。,
