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1、2.奈氏判据 设：闭环系统特征多项式 显然：F(s)的零点就是闭环系统的极点。(1)1G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平面上绘制的F(s)曲线F逆时针方向绕原点的圈数N则为F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差：N=P-Z 当 Z=0 时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。,（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析-奈氏判据 因1+G(s)H(s)与G(s)H(s)相差1，则系统稳定性可表述为：奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿奈氏路径绕一圈，G(j)H(j)曲线逆时针
2、绕（-1，j0）点的P圈。即：N=P（Z0）PG(s)H(s)位于s右半平面的极点数。a.若P=0，且 N=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则 闭环系统稳定；b.若P0，且N=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P 圈，则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取：Z=PN c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L 个极点分布在s平面的虚轴上。,例:一系统开环传递函数为：试判别系统的稳定性。解：本系统的开环频率特性 当 变化，系统的幅相曲线如图所示。因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-
3、1，j0）点的1圈，即 N=1。根据奈氏判据,闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0 所以系统稳定。,例:分析如下系统的稳定性。设开环传递函数中，T5T1T2、T3和T4解：若某K值下GH曲线如图，因N=0，且P=0，系统稳定。1.K增大:使（-1，j0）位于c、d间，曲线顺时针包围（-1，j0）两圈，系统不稳定。2.K减小:使（-1，j0）位于a、b之间，曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，系统仍不稳定。K再减小，使（-1，j0）点位于a点左边，那么闭环系统又稳定了。此系统称为条件稳定系统。即要使系统稳定，K必须满足一定的条件。,3.一种简易的奈氏判据（1）正、负穿越的概念 G(
4、j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画 部分。所谓“穿越”是指 轨迹穿过 段。正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用 表示。负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用 表示。正穿越 负穿越,若G(j)H(j)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2 次穿越和-1/2次穿越。,如果G(j)H(j)按逆时针方向铙(-1,j0)一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1,j0)一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(j)H(j)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为：闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时，G(j)H(j)曲线在（-1，j
5、0）点以左的负实轴 上的正负穿越之和为 P/2 圈。此时:Z=P-2N P-开环传递函数在 s 右半平面的极点数。要使Z0，则:N=P/2 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0.注意：这里对应的变化范围是。,例:某系统G(j)H(j)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），G(j)H(j)轨迹在点(-1,j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，因为：N=,求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。.,四、伯德图上的奈氏判据 极坐标图伯德图 单位圆0db线（幅频
6、特性图）单位圆以内区域0db线以下区域 单位圆以外区域0db线以上区域 负实轴-1800线（相频特性图）因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L()0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180线。,参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈判据可表述如下：闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化 时，在开环对数幅频特性 的频段内，相频特性 穿越的次数（正穿越 与负穿越 次数之差）为。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即则闭环系统稳定的充要条件是：在 的频段内，相频特性 在 线上正负穿越次数代
7、数和为零。或者不穿越 线。,五、稳定裕量,人们常用系统开环频率特性G(j)H(j)与GH平面上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说，G(j)H(j)离开（-1，j0）点越远，则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。一、相位裕量 增益剪切频率：指开环频率特性G(j)H(j）的幅值等于1时的频率，即 在控制系统的增益剪切频率c 上，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相移）量，称为系统的相位裕量，记作。,相位裕量：当0时，相位裕量为正，系统稳定；,相位裕量：当0时，相位裕量为负，系统不稳定。=,结论：一般而言 L(c)处的斜率为20db/+时，系统稳定。L(c
8、)处的斜率为40db/+时，系统可能稳定，也可能不稳定，即使稳定，也很小。L(c)处的斜率为60db/+时，系统肯定不稳定。为了使系统具有一定的稳定裕量，L()在c处 的斜率为20db/+。,2、增益裕量 在系统的相位剪切频率g（g0）上，开环频率特性的倒数，称为控制系统的增量裕量，记作Kg，即以分贝表示时 Kg大于1，则增益裕量为正值，系统稳定。Kg小于1，则增益裕量为负值。系统不稳定。一般说来为了得到满意的性能，相位裕量应当在 30 60之间，而增益裕量应当大于6dB。,复习:系统的稳态误差1.稳态误差与输入、系统结构有关.2.减小或消除稳态误差的方法：a、增加开环放大系数K；b、提高系统
9、的型号数;,关键：对数频率特性上的稳态误差系数求取1、0型系统设某一系统的开环频率特性其幅频特性如图所示在低频段（0）时，其幅值结论：0型系统对数幅频特性曲线低频段的斜率为0；高度为，其中KP即为该系统的稳态位置误差系数。,55 控制系统的稳态分析,2、型系统设某系统开环频率特性：其幅频特性如图所示。1）I型系统的对数幅频特性曲线低频段的斜率为-20dB/dec且它（或它的延长线）与=1直线交点处对应的幅值为20lgKV，证明如下：因此，当=1时,2）斜率为-20dB/dec的起始线段（或它的延长线）与0dB线交点频率V在数值上等到于KV。证明如下：即,3、型系统 其幅频如图所示 1）II型系统对数幅频特性曲线低频段（或它的延长线）与=1直线交点处对应的幅值为20lgKa，证明如下：II型系统低频段的频率特性（1）因此，当=1时,2）若设斜率为-40dB/dec的起始线段（或它的延长线）与0dB线的交点处频率为a，那么，它在数值上等于Ka的开方。证明如下：因为 得到 可以看出：提高系统开环频率特性低频段的幅值或增大低频段斜率的绝对值（型号数增加），都有利于系统稳态误差的减小。结论：一般来说，开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态特性。,
