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1、,抛物线及其 标准方程,喷泉,复习回顾：我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2)当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,(其中定点不在定直线上),那么,当e=1时，它又是什么曲线？,如图，点 是定点，是不经过点 的定直线。是 上任意一点，过点 作，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？,提出问题：,几何画板观察,问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|，点M的轨迹是什么？,探究？,可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|
2、,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图),我们把这样的一条曲线叫做抛物线.,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点,直线l 叫抛物线的准线,|MF|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,一、抛物线的定义:,解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点，由抛物线定义得：,化简得：,二、标准方程的推导,解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点，的方程为,设动点，由抛物线定义得,化简得：,二、标准方
3、程的推导,l,解法三：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.,两边平方,整理得,M(x,y),F,二、标准方程的推导,依题意得,这就是所求的轨迹方程.,三、标准方程,把方程 y2=2px(p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,且 p的几何意义是:,焦点坐标是,准线方程为:,想一想:坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单？,方案(1),方案(2),方案(3),方案(4),焦点到准线的距离,y2=-2px(p0),x2=2py(p0),y2=2px(p0),x2=-2py(p0),P的意义
4、:抛物线的焦点到准线的距离,方程的特点:(1)左边是二次式,(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.,四四种抛物线的对比,P66思考：,二次函数 的图像为什么是抛物线？,当a0时与当a0时，结论都为：,例1,（1）已知抛物线的标准方程是 y 2=6 x，求它的焦点坐标及准线方程,（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，2），求抛物线的标准方程,（3）已知抛物线的准线方程为 x=1，求抛物线的标准方程,（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程,x 2=8 y,y 2=4 x,看图,看图,看图,课堂练习：,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x=；
5、,（3）焦点到准线的距离是2。,y2=12x,y2=x,y2=4x、y2=-4x、x2=4y 或 x2=-4y,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20 x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。,解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。,即,所
6、以，所求抛物线的标准方程是，焦点的坐标是,4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向,1.抛物线的定义:,2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:每一对焦点和准线对应一种形式.,3.p的几何意义是:,焦 点 到 准 线 的 距 离,（2000.全国）过抛物线 的焦点 作一条直线交抛物线于，两点，若线段 与 的长分别为，则 等于（）,A.B.C.D.,分析：抛物线 的标准方程为，其焦点为.,取特殊情况，即直线 平行与 轴，则，如图。故,返回,解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且,=2，p=4，所以所求抛物线的标准方程是 x2=8y.,返回,解：（3）因为准线方程是 x=1，所以 p=2，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2=4x.,返回,x,y,o,(3,2),解：（4）因为(3，2)点在第一象限，所以抛物线的开口方向只能是向右或向上，故设抛物线的标准方程是 y2=2px（p0），或 x2=2py（p0），将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为,
