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第四章 留 数,一、重点与难点,二、内容提要,三、典型例题,一、重点与难点,重点：,难点：,留数的计算与留数定理,留数定理在定积分计算上的应用,二、内容提要,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与极点的关系,留数定理,留数在定积分上的应用,1.孤立奇点的概念与分类,2）孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,i)可去奇点;ii)极点;iii)本性奇点.,i)可去奇点,ii)极点,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,(b)由定义的等价形式判别,iii)本性奇点,3)函数的零点与极点的关系,2.留数,如果 为 的一级极点,那末,a),2)留数的计算方法,3.留数在定积分计算上的应用,1）三角函数有理式的积分,正方向绕行一周.,2）无穷积分,3）混合型无穷积分,特别地,三、典型例题,解,解,例2 求函数 的奇点，并确定类型.,解,是奇点.,是二级极点;,是三级极点.,例3 证明 是 的六级极点.,证,例4 求下列各函数在有限奇点处的留数.,解,(1)在 内,解,解,为奇点,当 时 为一级极点，,例5 计算积分,为一级极点，为七级极点.,解,由留数定理得,例6,解,在 内,解,例7 计算,例8 计算,解,令,极点为：,例9 计算积分,解,极点为,其中,由留数定理，有,例10 计算积分,解,在上半平面内有一级极点,
