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1、第9章 能量原理,9-1 虚功 杆件内力的虚功,1）虚功,虚变形满足物体变形连续条件和位移约束条件的允许变形。,物体发生变形的原因是多种多样的，例如温度、湿度变化等原因都会引起变形。由于没有限定虚变形的原因和原因的具体方式，一般来说虚变形是多种多样的。但在某一个原因下的真实变形却是确定的，真实变形是虚变形中的某一个。,虚变形的特点,满足变形连续条件,满足位移约束条件,未必真实发生的变形,简支梁如下的三种变形，均是它的允许变形，即虚变形,如果该变形是由力F引起的，那么对于力 F 来说，这个变形就是真实变形。,第9章 能量原理,9-1 虚功 杆件内力的虚功,1）虚功,虚变形满足物体变形连续条件和位
2、移约束条件的允许变形。,例如,左图中力偶 M 在右图中由力 F 所引起的转角 上所做的功 就是虚功。同理，右图中力 F在左图中由力偶 M 所引起的位移 上所做的功 也是虚功。,图中力 F 在其所产生的位移 上所做的功，为实功。,虚位移虚变形时物体各点的位移。,虚 功力在虚位移上做的功。,第9章 能量原理,9-1 虚功 杆件内力的虚功,1）虚功,轴力做的虚功,图中 与轴力 无关，是虚变形，是虚位移。,内力做的虚功用 Wi 表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本节只考虑杆件的 dx 微段。,2）杆件内力做的虚功,于是，该微段轴力 所做的虚功为,第9章 能量原理,9-1 虚功 杆件内力的虚功,1）虚功
3、,剪力做的虚功,右图中 与剪力 无关，是虚变形，是虚位移。,内力做的虚功用 Wi 表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本节只考虑杆件的 dx 微段。,2）杆件内力做的虚功,于是，该微段剪力 所做的虚功为,第9章 能量原理,9-1 虚功 杆件内力的虚功,1）虚功,扭矩做的虚功,下图中扭转角 与扭矩 T 无关，是虚变形。是虚位移（角位移）。,内力做的虚功用 Wi 表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本节只考虑杆件的 dx 微段。,2）杆件内力做的虚功,于是，该微段扭矩 T 所做的虚功为,第9章 能量原理,9-1 虚功 杆件内力的虚功,1）虚功,弯矩做的虚功,右图中转角 与弯矩 无关，是虚变形，是虚位移
4、（角位移）。,内力做的虚功用 Wi 表示。本课对虚功的讨论限于小变形，本节只考虑杆件的 dx 微段。,2）杆件内力做的虚功,于是，该微段弯矩 所做的虚功为,第9章 能量原理,9-1 虚功 杆件内力的虚功,1）虚功,轴力做的虚功,2）杆件内力做的虚功,于是，该微段在组合内力下所做的虚功为,剪力做的虚功,扭矩做的虚功,弯矩做的虚功,组合内力做的虚功,第9章 能量原理,9-2 虚功原理及其在杆件中的应用,1）虚功原理,物体受外力作用处于平衡状态，平衡外力系在该物体的虚位移上所做的功，等于该平衡力系引起的内力在虚变形上所做的功。简单地说就是外力的虚功等于内力的虚功。,用We表示平衡外力系的虚功，表示内
5、力的虚功，虚功原理的基本方程为,应用到杆件，若杆件的允许变形是由某个外力（不是上述的原平衡外力系）引起的，那么这个允许变形就只和由这个外力引起的内力有关，则微段的允许变形为,2）虚功原理在杆件中的应用,第9章 能量原理,9-2 虚功原理及其在杆件中的应用,2）虚功原理在杆件中的应用,应用到杆件，若杆件的允许变形是由某个外力（不是上述的原平衡外力系）引起的，那么这个允许变形就只和由这个外力引起的内力有关，则微段的允许变形为,其中，分别是和这某个外力（不是上述的原平衡外力系）相对应的轴力、剪力、扭矩和弯矩。,第9章 能量原理,9-2 虚功原理及其在杆件中的应用,2）虚功原理在杆件中的应用,其中，k
6、 是剪切形状系数，是为考虑横截面上切应力非均匀分布而引入的，它是与横截面形状有关的常数。,矩形截面,实心圆截面,第9章 能量原理,9-2 虚功原理及其在杆件中的应用,2）虚功原理在杆件中的应用,上述的允许变形与原平衡外力系无关，对于原平衡外力系来说，他们均是虚变形。这样，在弹性小变形条件下，杆件组合内力（原平衡外力系引起的）在这些虚变形上所作的内力虚功可写成,其中，是原平衡外力系所引起的内力。,第9章 能量原理,9-2 虚功原理及其在杆件中的应用,2）虚功原理在杆件中的应用,以,则原平衡外力系所做的虚功We为,分别表示杆件原平衡外力系的体力分布集度矢量和面力分布集度矢量。,表示与上述虚变形相对
7、应的虚位移矢量。,其中，为杆件的表面积，V 为杆件的体积。,第9章 能量原理,9-2 虚功原理及其在杆件中的应用,2）虚功原理在杆件中的应用,根据虚功原理，则,其中，为杆件的表面积，V 为杆件的体积。,第9章 能量原理,9-2 虚功原理及其在杆件中的应用,例 悬臂梁 AB 自由端 B 受外力偶 M 作用后与 A 端约束反力偶平衡。右图的 是该梁在 作用下 B 截面的角位移（角变形）对于外力偶 M 来说是虚位移（虚变形）。以此例验证虚功原理。,外力偶 M 作的外力的虚功,解：,内力所作的内力的虚功,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,如果把虚功原理中所说的平衡外力系选择为作用于两点的两个单位集中
8、力(简称单位力)，则这个平衡力系的外力的虚功为,注意，式中 为该两个单位力作用点 A、B 沿着单位力方向的相对虚位移，即 与单位力没有因果关系。,如果把虚功原理中所说的平衡外力系选择为作用于两个截面处的两个单位集中力偶(简称单位力偶)，则这个平衡外力系的外力的虚功为,注意，式中 为该两个单位力偶所在的两个截面在单位力偶方向上的相对虚角位移，即 与单位力偶没有因果关系。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,如果 为由一组广义力引起的相应的广义位移(允许变形的线位移或角位移)，FN、FS、T、Mz分别为这组力引起的轴力，剪力，扭矩，弯矩；单位力或单位力偶引起的轴力、剪力、扭矩、弯矩分别表示为，则据
9、虚功原理，有,注意，式中 1为单位广义力，它与广义位移 相乘为虚功。即，为线位移时，1为单位力；而 为角位移时，1为单位力偶矩。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,可简写为,该式表达的关系称为莫尔定理，其中的积分式称为莫尔积分。,在对杆件计算广义位移 时，剪力的作用往往可忽略。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,由于所求的是 B、D 两点的相对线位移，故在 B、D 两点施加单位平衡力系如图。,由单位力引起的其他内力皆为零。,例1 结构受两个方向相反，大小为 F 的力作用，A 和 C都为直角，杆 BD 长为 l，其他各杆长度均相等，每根杆的抗拉刚度都为 EA，试求 B、D 两点的相对位
10、移。,由单位力引起的轴力,由原外力引起的轴力,由原外力引起的其他内力皆为零。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,设B、D 两点的相对位移为，由莫尔定理,得到的 为正值，说明单位力的虚功为正值，即 B、D 两点分别沿单位力的正向移动，B、D 两点相对接近了 Fl/（EA）。,例1 结构受两个方向相反，大小为 F 的力作用，A 和 C都为直角，杆 BD 长为 l，其他各杆长度均相等，每根杆的抗拉刚度都为 EA，试求 B、D 两点的相对位移。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,1）求 A、B 两端面相对转角q,例2 简支梁受集中力 F 作用，梁的抗弯刚度为 EI，求 A、B两端面的相
11、对转角和相对线位移。,在 A、B 两端面作用单位力偶而成平衡力系,单位力偶引起的弯矩,原外力F 与约束反力引起的弯矩,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,1）求 A、B 两端面相对转角q,两端面相对转角q,例2 简支梁受集中力 F 作用，梁的抗弯刚度为 EI，求 A、B两端面的相对转角和相对线位移。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,1）求 A、B 两端面相对转角q,为负值，说明A、B两端面实际相对转角与单位力偶转向相反。,例2 简支梁受集中力 F 作用，梁的抗弯刚度为 EI，求 A、B两端面的相对转角和相对线位移。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,2）求 A、B 两端
12、面相对线位移d,在 A、B 两端面作用单位力而成平衡力系,单位力引起的弯矩为零，只有轴力,原外力F 与约束反力引起的内力,其他内力皆为零。,例2 简支梁受集中力 F 作用，梁的抗弯刚度为 EI，求 A、B两端面的相对转角和相对线位移。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,2）求 A、B 两端面相对线位移d,两端面相对线位移d,材料力学研究的是小变形，故两端面没有相对线位移。,例2 简支梁受集中力 F 作用，梁的抗弯刚度为 EI，求 A、B两端面的相对转角和相对线位移。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,对于有约束（如例2的刚性支座）的杆件，如果保留约束，只施加“一个”单位广义力，而不是
13、像例2那样施加平衡的“两个”单位广义力，那么这个单位广义力将和由它引起的约束反力组成平衡力系。由于约束处位移为零，故约束反力的虚功为零。于是，这个平衡力系的虚功就等于这“一个”单位广义力的虚功。,因此，对于有约束的杆件，保留约束，施加“一个”单位广义力，得到平衡力系，就能利用莫尔定理求出这“一个”单位广义力处的广义位移。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,1）求 A 端截面的转角,例3 求例2 中简支梁 A 端截面转角和 C 的挠度。,在A 端截面施加一个单位力偶,单位力偶与约束反力引起的弯矩,原外力F 与约束反力引起的弯矩,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,1）求 A 端截面
14、的转角,代入莫尔积分,例3 求例2 中简支梁 A 端截面转角和 C 的挠度。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,2）求 C 截面处的挠度,在 C 截面处施加一个单位力,单位力与约束反力引起的弯矩,原外力F 与约束反力引起的弯矩,例3 求例2 中简支梁 A 端截面转角和 C 的挠度。,第9章 能量原理,9-3 莫尔定理,解：,2）求 C 截面处的挠度,代入莫尔积分,例3 求例2 中简支梁 A 端截面转角和 C 的挠度。,第9章 能量原理,9-4 虚功原理应用于小变形固体,对于一般形状的变形固体，为了进行内力虚功的计算，考虑某个微元体，由平衡力系引起的应力分量为,1）用应力和应变表达的内力
15、虚功,如果某些其他原因所引起的允许变形，使该微元体产生应变分量为，这样，该微元体上内力的虚功为,第9章 能量原理,9-4 虚功原理应用于小变形固体,如果某些原因所引起的允许变形使微元体产生切应变分量，这时，微元体上内力的虚功为,1）用应力和应变表达的内力虚功,如果允许变形使微元体产生的相应的应变分量为，在小变形下，可认为在微元体上与 相对应的三个剪切变形互相独立，这样，内力的虚功,第9章 能量原理,9-4 虚功原理应用于小变形固体,综上所述，注意到在小变形下6个应变分量是独立的，因此微元体上内力的虚功为,1）用应力和应变表达的内力虚功,整个变形固体的内力虚功为,第9章 能量原理,9-4 虚功原
16、理应用于小变形固体,设想有两组平衡力系分别作用于某一线性弹性物体上，产生的应力分量、应变分量、位移矢量分别为,2）功的互等定理,第一组平衡力系,第二组平衡力系,第9章 能量原理,9-4 虚功原理应用于小变形固体,利用虚功原理和广义胡克定律可作如下推导：,2）功的互等定理,第9章 能量原理,9-4 虚功原理应用于小变形固体,即,2）功的互等定理,上式表明：第一组平衡力系在第二组平衡力系引起的位移上所做的功等于第二组平衡力系在第一组平衡力系引起的位移上所做的功。这一规律称为功的互等定理。,功的互等定理是在力学中应用得非常广泛的一个定理。,第9章 能量原理,9-4 虚功原理应用于小变形固体,如果变形
17、固体有约束，施加一个广义力 F 后，该物体就要变形，且这个广义力和约束反力共同组成平衡力系，这个平衡力系的虚功就等于这个广义力的虚功。,3）位移互等定理,如果对于同一个变形固体，在点 A 作用广义力，或在点 B 作用广义力，则由功的互等定理，有,其中，是 单独作用时，点 A 平行与 的位移；而 是 单独作用时，点 B 平行与 的位移。,第9章 能量原理,9-4 虚功原理应用于小变形固体,若,3）位移互等定理,对于有约束的小变形线弹性体，将大小相等的广义力作用于位置 A 或位置 B 处，则作用于位置 A 时引起的位置 B 处平行于作用在位置 B 的广义力（作用线或作用面）的广义位移 等于作用于位
18、置 B 时引起的在位置 A 处平行于作用在位置 A 的广义力（作用线或作用面）的广义位移。这一规律，称为位移互等定理。,则,第9章 能量原理,9-5 冲击,当物体受到急剧变化的外力时，应力和应变也急剧变化，这种现象称为冲击。引起冲击的载荷称为冲击载荷。冲击载荷及由冲击载荷引起的力学量常以字母 d 为下角标。,1）冲击物的变形足够微小，可把冲击物看作刚体。,由于冲击载荷的变化规律难以精确掌握，因此常采用能量守恒原理求得近似解答。为了研究问题方便，作以下假设：,2）被冲击物的变形为弹性小变形，服从胡克定律，质量可忽略，没有惯性。,3）冲击过程中，冲击物失去的机械能完全转变为被冲击物的变形能。,4）
19、冲击一经发生，冲击物与被冲击物就粘在一起而不再分开。,第9章 能量原理,9-5 冲击,1）受水平运动物体的冲击,质量为 m 的物体以速度 V 冲击柱 AB也好，冲击杆AB也好，均可抽象为质量为 m 的物体以速度 V 冲击一个弹簧。只是不同的被冲击物，其弹簧系数不同而已。,第9章 能量原理,9-5 冲击,1）受水平运动物体的冲击,代入上式，得,冲击物失去的是动能,被冲击物获得变形能,将冲击物的重力mg作为静载荷，加到冲击物的冲击点处，引起沿冲击方向的静位移用 表示，则有,第9章 能量原理,9-5 冲击,1）受水平运动物体的冲击,令,动荷系数,则,第9章 能量原理,9-5 冲击,2）自由落体冲击,重量为 Q 的物体自由下落，冲击梁 AB 也好，冲击杆AB也好，均可抽象为重量为 Q 的物体自由下落冲击一个弹簧。只是不同的被冲击物，其弹簧系数不同而已。,第9章 能量原理,9-5 冲击,2）自由落体冲击,代入上式，得,冲击物失去的是势能,被冲击物获得变形能,将冲击物的重量 Q作为静载荷，加到冲击物的冲击点处，引起沿冲击方向的静位移用 表示，则有,第9章 能量原理,9-5 冲击,2）自由落体冲击,令,动荷系数,则,
