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1、子曰：好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。知斯三者，则知所以修身。知所以修身，则知所以治人。知所以治人，则知所以治天下国家矣。中庸,第十二章 求变形的能量方法Energy Method for Calculating Deformation,前面解决了强度问题（简单变形组合变形）刚度问题怎么办？1、能否避免组合变形的微分方程？2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线 用揭示本质法寻根 能量法,3,本章就寻找能量方法，用于求位移优点：1.不管中间过程，只算最终状态 2.能量是标量，容易计算,能量方法？,内 容121 杆件变形位能的计算122 卡氏定理123 莫尔定理124 计算莫尔积分
2、的图乘法125 互等定理126 虚功原理,121 杆件变形位能的计算 Calculating Potential Energy of Component Deformation一、条件 大前提：1、小变形；2、服从郑玄胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数 小前提：缓慢加载 变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）,二、变力做功贮能 外力缓慢做功W，无损失地转化为变形位能U，贮存于弹性体内部：U=W,进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称为能量方法,P 广义力（力，力偶）广义位移（线，角位移）,三、杆件变形能的计算,1.轴向拉压杆的变形能计算 微元 dx 上轴力N
3、(x)做功,2.扭转杆的变形能计算微元 dx 上扭矩T(x)做功,3.弯曲杆的变形能计算微元 dx 上弯矩M(x)做功,四、变形能的普遍表达式,1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功2、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力 的影响）,11,内力表达的变形位能 应力表达的变形位能,结 论1.变形位能是状态函数（同最终的力和变形有关）,2.变形位能的计算不能用叠加原理,13,如何解释交叉项？单独作用时,则,载荷 在载荷 引起的位移上做的功,交叉项是两个载荷相互作用的外力功解释1,14,解释2,载荷 在载荷 引起的位 移上做的功,注意：1.载荷交互作用作功，不同于自力做功是 变载由零
4、一点一点增大，而是常力做功 2.实质是虚功原理,3.因，也包含互等定理,15,五 利用功能原理求位移 根据外力功 W 全部转成变形位能 U W=U 可以求出一个集中力下的位移例12.1 P352 要点：1、求出截面内力函数（弯矩、扭矩等）2、积分求变形位能 U 3、W=U，求出位移例12.2 同上三个要点,16,六、引向卡氏定理 例12.1,例12.1,后面的偏微分关系是巧合，还是必然？实际是卡氏定理说明要善于发掘更本质的东西,例 半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅 垂力P的作用，求A点的垂直位移（备用题）,解：用能量法（外力功等于应变能）,外力功等于应变能,变形能,122 卡氏定理 C
5、astigliano Theory设法推导出（不是简单的证明）,推导的出发点,只有第 i 号外力有增量,当,即卡氏定理,我得到另一结论，因,意大利工程师 阿尔伯托卡斯提格里安诺(Alberto Castigliano，18471884),当,所以,二、使用卡氏定理的注意事项,U 整体结构在外载作用下 的线弹性变形能,Pi 视为变量，结构反力和变形 能等都必须表示为Pi 的函数,i 为 Pi 作用点沿 Pi 方向的变形,例 求等截面直梁C点的挠度,解：,应用对称性得,思考：分布荷载时求 C 点位移？,例 求A 点的挠度,变形,求弯矩,解：,求变形能,思考：如何求 A 点转角,例 用卡氏定理求B点
6、的挠度,解：B点加一个力Q 最后令Q=0,求弯矩,求变形能,变形,实际引向了Mohr定理,原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计算只需计算二者交互的变形能 前面的两个思考题也可以这样解,如何计算任一点A的位移？,在实载荷下得到相应内力如弯矩为M(x),1、在A点加虚单位力2、计算 实、虚载荷交互的变形能,123 莫尔定理 Mohr Theory,求任意点A的位移 f A,弯矩 M(x),弯矩,前面讲变形能不能迭加的交互项,因P0=1,莫尔定理(单位力法),普遍形式的莫尔定理,三、使用莫尔定理注意事项,M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标 系可自由建立,莫尔积分必须遍及整个结构,M0
7、 沿所求 广义位移 的方向加广义单位力（虚载荷）时结构产生的内力,M(x)结构在原载荷（实载荷）下的内力,所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功 的量纲,例 求等截面直梁C点的挠度和转角（例 12.3 P356）,解：画单位载荷图,求内力,对称性,变形,求转角，重建坐标系（如图）,35,各种方法比较,注：卡氏定理求含参数积分，再求导；莫尔定理是纯数值积分；所以莫尔定理计算量小,功能原理,单个集中载荷方向的位移,无法补救,1.积分求变形能2.求外力功,卡氏定理,多种载荷中,任一集中载荷方向的位移,任意位移(给出虚载荷P，最后令P=0),1.积分求变形能2.求偏导数,莫尔定理,任意位移,积分求
8、交互能量,36,例 12.4 P357,例 12.6 P360 实质是刚架,梁、刚架,杆、桁架,例 12.5 P359,124 计算莫尔积分的图乘法 Multiplicative Graph Method for Calculating Mohr Integration,为了简化Mohr积分计算,坐标原点取直线与 轴的交点,在单位力作用下，是一条直线,125 互等定理 Reciprocal Theory1、功的互等定理（Reciprocal Theory of Work）,功的互等定理,2、位移互等定理（Reciprocal Theory of Displacement）,如果,则有,位移互等
9、定理，又叫Maxwell位移互等定理书上讲法的缺点；功的互等定理 神秘色彩 位移互等定理 先验论,例题12.15，P377,对于,126 虚功原理 Principle of Virtual Work1 虚位移,对于刚体：约束条件许可的无限小位移,对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的 无限小位移,功的互等定理中,不是 发生的位移，只是位置1处的一种可能位移，或叫虚位移,2、虚功原理,对于刚体：平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚 功之和为零,对于变形体：平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚 功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变形位能）,3 虚功的计算,外力：P1,P2,内力：N,M,外力虚功：We=P1a1+P2a2+.,虚位移：a1,a2,.,虚变形：,内力虚功：,由 We=Wi,虚功原理是最一般的功能原理,对于梁，施加单位力P=1,力P产生的内力,则有：,莫尔定理,小结：1 变形位能的概念2 卡氏定理3 莫尔定理4 互等定理5 虚功原理,作业：12.19,12.20,
