第一组力的功为课件.ppt

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1、第十章 能量方法,10-1 概述10-2 杆件变形能的计算10-3 变形能的普遍表达式 10-4 互等定理10-5 卡氏定理10-6 虚功原理10-7 单位载荷法 莫尔积分10-8 计算莫尔积分的图乘法,10-1 概述,能量原理,与功和能有关的定理，统称为能量原理。运用能量原理求解问题的方法称为能量法。,功能原理,外力的功等于变形能:,10-2 杆件变形能的计算,1 轴向拉伸或压缩,第十章 能量方法,1 轴向拉伸或压缩,轴力N是x的函数时,应变能密度,第十章 能量方法,应变能密度,2 纯剪切,应变能密度,3 扭转,第十章 能量方法,3 扭转,扭矩T是x的函数时,4 弯曲,纯弯曲时,第十章 能量

2、方法,4 弯曲,纯弯曲时,转角,纯弯曲时各截面的弯矩相等，m为常数。,变形能,第十章 能量方法,变形能,横力弯曲时,对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变形能相比很小，通常可忽略不计。横力弯曲时，弯矩是x的函数。,第十章 能量方法,5 用广义力和广义位移表示变形能,可将,统一写为,6 非线性弹性材料的变形能,第十章 能量方法,例 1.,已知:圆截面半圆曲杆，P，R,EI,GIp。,求：A点的垂直位移。,解：1 求内力,截面mn,取左段,2 变形能,第十章 能量方法,1 求内力,截面mn,取左段,2 变形能,第十章 能量方法,3 外力的功,由U=W，得:,第十章 能量方法,例 2.已知 应变能

3、密度公式。,求：横力弯曲时的弯曲变形能和剪切变形能公式。,解：,应变能密度为,y处应力,第十章 能量方法,解：,应变能密度为,y处应力,弯曲变形能,第十章 能量方法,与前面导出的弯曲变形能公式相同。,I,弯曲变形能,剪切应变能密度,第十章 能量方法,剪切变形能,剪切应变能密度,记为 k,第十章 能量方法,记为 k,其中的系数,对矩形截面,圆截面,薄壁圆环,第十章 能量方法,例 3 已知:矩形截面简支梁。,求：比较弯曲和剪切变形能的大小。,解：,由于对称性，只需计算一半梁中的变形能。,剪力方程,弯矩方程,弯曲变形能,第十章 能量方法,弯曲变形能,剪切变形能,两种变形能之比,对矩形截面,又：,第十

4、章 能量方法,两种变形能之比,对矩形截面,又：,取=0.3，,当 h/l=1/5 时:,当 h/l=1/10 时:,所以，对长梁，剪切变形能可忽略不计。,第十章 能量方法,10-3 变形能的普遍表达式,1 变形能的普遍表达式,比例加载,比例系数:,时广义力的大小为:,线弹性体 无刚体位移 广义力 P1,Pn 力作用点沿力的方向的广义位移 1,n,第十章 能量方法,时广义力的大小为:,当 有d 时,位移的增量为:,则功的增量为:,力的总功为:,第十章 能量方法,力的总功为:,由功能原理，变形能为:,变形能的普遍表达式,注意：i 是 P1,P2,Pn 共同作用下的位移。,取一微段为研究对象,2 组

5、合变形时的变形能,第十章 能量方法,2 组合变形时的变形能,取一微段为研究对象,由变形能的普遍表达式，有：,积分可得杆的总变形能,第十章 能量方法,积分可得杆的总变形能,注：1)上式中忽略了剪切变形能；2)若为非圆截面杆，则扭转变形能中的Ip,应改为It；3)不同内力分量引起的变形能可以叠加，同一内力分量的变形能不能叠加。,第十章 能量方法,10-4 互等定理,1 功的互等定理,两种加载方式下的变形能,1)先加第一组，再加第二组。,线弹性体上作用有两组力。第一组为 P1,Pm;,第二组为 Q1,Qn。,第十章 能量方法,1)先加第一组，再加第二组,加完第一组力时的功为:,加完第二组力时，第二组

6、力的功为:,加第二组力时，第一组,力的功为:,总的功为三项之和:,第十章 能量方法,加第二组力时，第一组,力的功为:,总的功为三项之和:,2)先加第二组，再加第一组,第十章 能量方法,2)先加第二组，再加第一组,加完第二组力时的功为:,加完第一组力时，第一组力的功为:,加第一组力时，第二组,力的功为:,总的功为三项之和:,第十章 能量方法,加第一组力时，第二组,力的功为:,总的功为三项之和:,变形能与加载次序无关，所以:,第十章 能量方法,变形能与加载次序无关，所以:,这就是功的互等定理，即:,第十章 能量方法,这就是功的互等定理，即:,第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第

7、一组力引起的位移上所作的功。,2 位移互等定理,当仅有两个力P1和P2作用时,记 P1作用时，在P2作用点产生的沿P2作用线方向的位移为d 21,第十章 能量方法,2 位移互等定理,当仅有两个力P1和P2作用时,记 P1作用时，在P2作用点产生的沿P2作用线方向的位移为d 21,而P2作用时，在P1作用点产生的沿P1作用线方向的位移为d 12,则由功的互等定理，有:,当P1=P2 时，则有,第十章 能量方法,则由功的互等定理，有:,当P1=P2 时，则有,即:当P1=P2 时，P1作用点沿P1方向由于P2的作用而引起的位移，等于P2作用点沿P2方向由于P1,的作用而引起的位移。,位移互等定理,

8、说明：1)位移应理解为广义位移；2)功的互等定理和位移互等定理只对线弹性材料和结构成立。,第十章 能量方法,例 4.,已知:静不定梁，P,a,l。,求：用功的互等定理求 B处反力。,解：,取静定基,相当系统如图,取第一组力:P,RB,假想作用第二组力为:X=1。,设第一组力在 X作用点B引起的位移为 B。,第十章 能量方法,取第一组力:P,RB,假想作用第二组力为:X=1。,设第一组力在 X作用点B引起的位移为 B。,由变形协调条件：,第二组力X在P,RB作用点引起的位移为1,2。,第十章 能量方法,可得:,第一组力在第二组力引起的位移上的功为:,第二组力在第一组力引起的位移上的功为:,第十章

9、 能量方法,第一组力在第二组力引起的位移上的功为:,第二组力在第一组力引起的位移上的功为:,由功的互等定理，二者应相等:,第十章 能量方法,10-5 卡氏定理,1 卡氏第一定理,设di有一增量Ddi,其它各dj不变，,则 Pi作的功为Pi Ddi，其它各Pj不作功，则:,两边取极限，得:,注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍定理，有较重要的理论价值。,卡氏第一定理,第十章 能量方法,2 卡氏第二定理,两边取极限，得:,注：卡氏第一定理适用于非线性材料及结构，是一个普遍定理，有较重要的理论价值。,卡氏第一定理,设Pi有一增量DPi,其它各Pj不变，则Pi的增量DPi所,作的功为DP

10、i Ddi/2，其它各Pi所作的功为Pi Ddi。,但由于di 一般是未知的，使用不方便。,第十章 能量方法,忽略高阶微量DPi Ddi/2，有:,2 卡氏第二定理,设Pi有一增量DPi,其它各Pj不变，则Pi的增量DPi所,作的功为DPi Ddi/2，其它各Pi所作的功为Pi Ddi。,为应用功的互等定理，取两组力,第十章 能量方法,忽略高阶微量DPi Ddi/2，有:,为应用功的互等定理，取两组力,将P1,P2,Pn看作第一组力,DPi 看作第二组力。第一组力在第二组,由功的互等定理,有,力DPi 作用点引起的位移为di，第二组力在第一组力作用点引起的位移为Dd1，Dd2,Ddn。,第十章

11、 能量方法,将P1,P2,Pn看作第一组力,DPi 看作第二组力,第一组力在第二组,由功的互等定理,有,力DPi 作用点引起的位移为di，第二组力在第一组力作用点引起的位移为Dd1，Dd2,Ddn。,第十章 能量方法,由功的互等定理,有,两边取极限，得:,注：推导卡氏第二定理时，用了功的互等定理，所以它只适用于线弹性材料及结构。,卡氏第二定理,3 几种常见情况,横力弯曲,第十章 能量方法,3 几种常见情况,横力弯曲,横力弯曲的变形能,代入卡氏第二定理,交换求导和积分的次序，有,桁架、拉、压杆,设有n根杆，则变形能为:,第十章 能量方法,代入卡氏第二定理,桁架、拉、压杆,设有n根杆，则变形能为:

12、,扭转,代入卡氏第二定理,扭转变形能为:,第十章 能量方法,组合变形,代入卡氏第二定理,扭转变形能为:,若Pi力同时引起轴力、扭矩和弯矩，则,第十章 能量方法,用卡氏定理解题的一般步骤,1)求约束反力；2)分段列出内力方程（轴力、扭矩、弯矩方程）；3)对广义力求偏导数；4)将内力方程和偏导数代入卡氏定理，积分。,第十章 能量方法,例 1.,已知:EI,m,P,a,l。,求：fC,A。,解：,求反力,AB段,分段列弯矩方程,BC段,第十章 能量方法,AB段,分段列弯矩方程,BC段,求偏导数,第十章 能量方法,求偏导数,由卡氏定理,将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理,第十章 能量方法,由卡氏定理,将弯

13、矩方程和偏导数代入卡氏定理,第十章 能量方法,将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理,求 C,第十章 能量方法,求 C,第十章 能量方法,问题,本例中求 fC,A。题中正好C点作用有P，A点作用有m。若没有P力作用或没,有力偶m作用，则怎样求出 fC 或A？,第十章 能量方法,例 2.已知:EI为常数,m。,求：C 及D点的水平位移x，轴力及剪力不计。,解：,1 为求 C，加 m2,分段列弯矩方程并求对m2的偏导数,求反力,将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理,积分求出,第十章 能量方法,将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理,积分求出,实际上并无m2，所以令m2=0，得：,通常在积分前即令m2=0，可使积分简单。

14、,第十章 能量方法,2 为求 x，加 Pa,分段列弯矩方程并求对Pa的偏导数,求反力,在弯矩方程和偏导数中，令 Pa=0,积分求出,将弯矩方程和偏导数代入卡氏定理,第十章 能量方法,10-6 虚功原理,微小位移,力在虚位移上所作的功。,分为:,弹性体的虚位移：满足约束条件和连续条件的微小位移。,小变形,2 虚功,1 虚位移,外力的虚功;,内力的虚功,虚变形能,3 虚功原理,外力的虚功等于内力的虚功。,即:,第十章 能量方法,3 虚功原理,外力的虚功等于内力的虚功。,即:,4 外力虚功表达式,广义力 P1,Pn;q(x)力作用点沿力的,外力的虚功,方向的广义虚位移,第十章 能量方法,外力的虚功,

15、5 内力虚功表达式,取微段考虑,内力在刚体虚位移上的虚功为零,内力在虚变形上作虚功,不同内力的虚功可以叠加微段上内力的虚功为,第十章 能量方法,不同内力的虚功可以叠加,积分可得物体上内力的总虚功为,微段上内力的虚功为(忽略高阶微量后),第十章 能量方法,积分可得物体上内力的总虚功为,6 虚功方程,将外力的虚功和内力的虚功代入虚功原理，得:,虚功原理可用于线弹性材料，也可用于非线性弹性材料。,第十章 能量方法,例,已知:P,1号杆长 l,三杆材料均为相同的线弹性材料，截面积相同，E，A已知。,求：三杆的内力。,解：,设平衡时，A点的真实位移为v。,各杆的伸长,由胡克定律,第十章 能量方法,由胡克

16、定律,设A点有一虚位移,外力虚功,内力虚功,因为杆中轴力为常量,第十章 能量方法,内力虚功,因为杆中轴力为常量,而,第十章 能量方法,代入虚功方程,代入轴力表达式,第十章 能量方法,10-7 单位载荷法 莫尔积分,为求出结构上某一点沿某方向的位移，,1 单位载荷法,取结构在外载荷作用下产生,加一单位载荷。,的真实位移作为虚位移，,第十章 能量方法,取结构在外载荷作用下产生的真实位移作为虚位移，由虚位移原理,为单位载荷引起的内力;,其中，,为外载荷引起的真实位移.,几种简化形式,以弯曲为主的杆,拉压杆,轴力为常量时,第十章 能量方法,几种简化形式,以弯曲为主的杆,拉压杆,轴力为常量时,n根杆(桁

17、架),扭转,注：1)单位载荷法可用于非线性弹性材料;,第十章 能量方法,扭转,注：1)单位载荷法可用于非线性弹性材料;,2)若求出的为正，则表示与单位力的方向相同。3)单位力和位移均为广义的。,2 莫尔积分,对于线弹性材料，单位载荷法中的位移为,第十章 能量方法,2 莫尔积分,对于线弹性材料，单位载荷法中的位移为,则:,第十章 能量方法,则:,这些公式统称为莫尔定理，积分称为莫尔积分。,第十章 能量方法,这些公式统称为莫尔定理，积分称为莫尔积分。,或:,式中：加一杠的内力是单位力引起的内力；未加杠的内力是原外力引起的内力。显然，莫尔积分仅适用于线弹性结构。,第十章 能量方法,求相对位移,加一对

18、方向相反的单位力。,第十章 能量方法,例 3,已知:P,l,截面积A,求：B点垂直位移。,解：,单位载荷法可求解材料非线性问题。,对杆系,求杆的伸长,应力应变关系为,其中，C为常数，s,e 皆取绝对值。,取B点，受力如图,第十章 能量方法,对杆系,求杆的伸长,由平衡方程,应力,取B点，受力如图,(压力),(压应力),第十章 能量方法,应力,应变,杆的伸长,第十章 能量方法,杆的伸长,单位载荷引起的轴力,取B点，受力如图,由平衡方程,第十章 能量方法,例 4,已知:P,l,a,E,I1,I2,不计轴力和剪力的影响。,求：A点垂直位移 y及B截面的转角 B。,解：,1 实际载荷的弯矩,AB段,在A

19、点加 y方向单位力,BC段,2 求 y,第十章 能量方法,1 实际载荷的弯矩,AB段,在A点加 y方向单位力,BC段,2 求 y,单位载荷的弯矩,AB段,BC段,代入莫尔积分公式,第十章 能量方法,代入莫尔积分公式,AB段,BC段,第十章 能量方法,在B点加单位力偶矩,2 求 B,单位载荷的弯矩,AB段,BC段,代入莫尔积分公式,第十章 能量方法,代入莫尔积分公式,AB段,BC段,这里的负号表示转向为顺时针的。,第十章 能量方法,10-8 计算莫尔积分的图乘法,杆件为等截面直杆。,图乘法的条件：,莫尔积分,对等截面直杆，EI,GIp 或 EA 为常量。,所以需要计算积分,成为,用图乘法计算莫尔

20、积分,第十章 能量方法,所以需要计算积分,用图乘法计算莫尔积分,通常,是x的线性函数,设直线与x轴的夹角为,则有：,上述积分可表示为：,M(x)弯矩图的面积对y轴的静矩。,第十章 能量方法,M(x)弯矩图的面积对y轴的静矩。,记M(x)弯矩图的面积为。,根据静矩的计算公式，有:,第十章 能量方法,式中，,为,图中与,图的形心位置C所对应,处的纵坐标。,莫尔积分的图乘公式为,第十章 能量方法,莫尔积分的图乘公式为,此式对轴力和扭矩也适用,即：莫尔积分的计算，可用载荷的弯矩图的面积与该图形形心位置所对应之处的单位载荷(直线)的弯矩图的幅度之积代替。,几种常用图形的面积和形心位置,第十章 能量方法,

21、几种常用图形的面积和形心位置,第十章 能量方法,例 5,已知:F,q,a,l,EI。,求：A截面转角。,解：,用图乘法。,外载荷的弯矩图(叠加法）,单位载荷的弯矩图,面积,第十章 能量方法,面积,高度,第十章 能量方法,高度,图乘,第十章 能量方法,例 6,已知:q,l,EI。,求：中点的挠度。,解：,用图乘法。,外载荷的弯矩图,单位载荷的弯矩图,第十章 能量方法,面积,高度,图乘,第十章 能量方法,例 7,已知:q,a,l,EI为常数。,求：Cx 及 C，轴力及剪力不计。,解：,用图乘法。,外载荷的弯矩图,面积,第十章 能量方法,外载荷的弯矩图,面积,求 Cx,单位载荷的弯矩图,l,第十章 能量方法,求 C,单位载荷的弯矩图,1,1,第十章 能量方法,求 C,单位载荷的弯矩图,面积,第十章 能量方法,正负号问题,对刚架，外载荷的弯矩图与单位载荷的弯矩图在同侧的，乘积取正号；分别在两侧的，乘积取负号。,第十章 能量方法,第十章结束,第十章 能量方法,