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1、第 五 章,虚功原理与结构位移计算,5-6 温度作用的位移计算,平面杆件结构位移计算的一般公式,在此：，由温度作用引起。,注意静定结构特征：,组成：无多余约束的几何不变体系；,静力：温度作用下静定结构无反力、内力；杆件有变形，结构有位移。,温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变形和位移。,1、温度变化时静定结构的特点：,（1）有变形（热胀冷缩）均匀温度改变（轴向变形）；不均匀温度改变（弯曲、轴向变形）；无剪切变形。（2）无反力、内力。,2、微段由于温度改变产生的变形计算,设温度沿截面厚度直线变化。（1）轴向伸长（缩短）变形：设杆件上边缘温度升高t1，下边缘升高t2。形心处轴线温度：t0=(h
2、1t2+h2t1)/h（截面不对称于形心）t0=(t2+t1)/2（截面对称于形心）du=ds=t0 ds 材料线膨胀系数。,ds,形心轴,+t1,+t2,t0,h,h1,h2,t1ds,du,d,t2ds,(2)、由上下边缘温差产生的弯曲变形：,上下边缘温差 t=t2 t1 d=ds=(t2-t1)ds/h=t ds/h（3）温度作用不产生剪切变形 ds=0,3、温度作用时位移计算公式,如t0，t和h沿每杆杆长为常数，则：,正负号：比较虚拟状态的变形与实际状态中由于温度变化引起的变形，若两者变形方向相同，则取正号，反之，则取负号。,刚架（梁）中由温度变化引起的轴向变形不可忽略。,(5-28a
3、),(5-28b),例：图示刚架，施工时温度为200C，试求冬季当外侧温度为-100C，内侧温度为00C时，点A的竖向位移AV，已知=10-5，h=40cm（矩形截面）。,l=4m,l=4m,A,00C,-100C,外侧温度改变：t1=-10 20=-300,内侧温度改变：t2=0 20=-200,-300C,-200C,l=4m,l=4m,A,-300C,-200C,FP=1,FN,FN=0,FN=-1,FP=1,l,M,t0=(t1+t2)/2=（-30-20）/2=-250,t=t2-t1=-20-（-30）=100,AV=(-25)(-1)l+(-)10/h(1/2ll+ll)=-0.
4、5 cm(),提问：,（1）、若当结构某些杆件发生尺寸制造误差，要求结构的位移，应如何处理？应根据位移计算的一般公式进行讨论。特点：除有初应变（制造误差）的杆件外，其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件中找、即可。,（2）静定结构由荷载、温度改变、支座移动、尺寸误差、材料涨缩等因素共同作用下，产生的位移应如何计算？先分开计算，再进行叠加。,5-9 互等定理,状态,状态,一、功的互等定理 贝蒂（E.Betti 意 18231892）定理,FP1,FP1,FR1,FP2,21,12,12,ds,ds,令状态上的力系在状态的位移上作虚功,令状态上的力系在状态的位移上作虚功,比较（a）、（b）两式，
5、知：,W12=W 21（5-41）,FP112=FP221,或写为：,功的互等定理。在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上作的虚功W12，等于第二状态上的外力在第一状态上作的虚功W21。,应用时注意：广义力 广义位移,对应,由：W12=FP112，W21=M221 有：W12=W21 FP112=M221,FP1,1,2,2,M2,M2,1,21,12,功的互等定理应用条件：,（1）材料弹性，应力与应变成正比。,（2）小变形，不影响力的作用。即 为线性弹性体系。,二、位移互等定理（位移影响系数互等）,位移互等定理（Maxwell定理）功的互等定理的一个特殊情况。位移互等定理：在任一
6、线性弹性体系中，由荷载FP1所引起的与荷载FP2相应的位移影响系数21，等于由荷载FP2所引起的与FP1相应的位移影响系数12。,两种状态如图示 ij单位力FPj=1在i方向上引起的与FPi相应的位移，也称位移系数。ij=ij FPj由功的互等定理 W12=W21 FP112=FP221 FP1=FP2=1 12=21(5-42)注：数值相同，量纲相同。,FP1=1,FP2=1,21,12,广义位移系数量纲（单位）,ij=,位移单位（实际）,引起位移的广义力单位（实际）,例：如图所示，根据位移互等定理，可求得：A=FPl2/16EI fC=Ml2/16EI现 FP=M=1,故:A=fC=l2/
7、16EI(1/kN=1/力）A：单位力引起的角位移；fC：单位力偶引起的线位移。位移含义不同，但数值相同，量纲相同。,FP=1,l/2,l/2,C,M=1,21=A,12=fC,三、反力互等定理,反力互等定理（瑞利 Regleigh 定理）功的互等定理的一种特殊情况。用以说明在超静定结构中，假设两个支座分别发生单位位移，两种状态中反力的相互关系。,同一线性变形体系中的两种变形状态 rij支座 j 发生单位位移j=1时，在支座i处产生的反力，也称反力影响系数。rij=Rij/j,1=1,r11,2=1,r22,r21,r12,由功的互等定理：,W12=W21,1=2=1,r121=r212,r1
8、2=r21(5-43),即为反力互等定理。,反力互等定理,在任一线性变形体系中，由支座位移1所引起的，与支座位移2相应的反力影响系数r21，等于由支座位移2所引起的与位移1相应的反力影响系数r12。注：数值相等，量纲相等。广义反力系数量纲（单位）：r12=反力R的单位（实际力的单位）位移的单位（实际力的单位）,定理对任何两种支座都适用，注意反力和位移之间的相互对应关系。如图：,1=1=1,2=1,3=1,r12,r21,r31,r13,r23,r32,r12=r21,r13=r31,r23=r32,四、反力与位移互等定理,功的互等定理的又一特殊情况。说明一种状态的反力与另一状态中的位移具有数值上的 互等关系。,
