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1、8.4 复合函数求导法则,先回忆一下一元复合函数的微分法则,则复合函数,对 x 的导数为,这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元,复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？,这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数,如,由于 f 没有具体给出,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。,一、复合函数求导法则,证,推广1：推广到中间变量多于两个的情况.
2、,如,以上公式中的导数 称为全导数.,推广2：上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,经常将函数,中间变量,自变量之间的关系用图表示.称为变量关系图.,复合法则如图示,这两个公式的特征:,(1)函数z=f(x,y),(x,y)有两个自变量x和y,故,(2)由于在函数复合过程中有两个中间变量u和v,故,法则中每一个公式都是两项之和,这两项分别含有,(3)每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似,即“函数对中间变量的偏导数乘以中间变量对自变量的偏导数”.,多元复合函数的求导法则简言之即:,“分道相加,连线相乘”.,特殊地,其中,即,令,两者的区别,关于多元复合函数求偏导问题,这是
3、一项基本技能,要求熟练掌握,尤其是求二阶偏导数,既是重点又是难点.对求偏导公式不求强记,而要切实做到彻底理解.注意以下几点将会有助于领会和理解公式,在解题时自如地运用公式.用图示法表示出函数的复合关系;清楚函数对某个自变量的偏导数的结构(项数及项的构成);,求抽象函数的偏导数时,一定要设中间变量;,注意引用这些公式的条件:外层函数可微(偏导数连续)内层函数偏导数存在.,fuv,fvu的合并问题视题设条件而定.,弄清 fu(u,v)和fv(u,v)的结构是求抽象的复合函数二阶偏导数的关键,即fu(u,v)和fv(u,v)仍是复合函数,且复合结构与f(u,v)完全相同,即fu(u,v)和fv(u,
4、v)仍是以u,v为中间变量,以x,y为自变量的复合函数.因此求它们关于x,y 的偏导数时必须使用链式法则.,全微分形式不变形的实质：无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,二、全微分形式不变性,利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理,从而为解题带来很多方便，而且也不易出错,例5:设u=f(x,y,z),y=(x,t),t=(x,z),各函数满足求偏导的条件,求,解一:复合函数变量间的关系图:,则,而,所以,这里变量间的关系比较混乱,用全微分来解,由全微分定理,注意到 x,z 是独立自变量,解二,由全微分定义,注,解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错,故,三、小结,1、复合法则（分三种情况）,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,2、全微分形式不变性,（理解其实质）,练 习 题,练习题答案,作业 P31 2;4;6;8(2),(3);9;10;12(4)P73 5;6(2),备用题,1.已知,求,解:由,两边对 x 求导,得,2.,求,解:由题设,(2001考研),练习,解答提示:,P31 题7,P31 题7;8(2);P73 题11,P31 题8(2),P73题 11,
