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1、引子,定积分计算：用原函数(不定积分)无法找到原函数F(x)怎么办？,第五章 数值微积分,5.1 数值积分公式5.2 数值积分的余项5.3 复化求积法与步长的选取5.4 数值微分法,5.1 数值积分公式,机械求积 Newton-Cotes公式 代数精度 Gauss求积公式,1.机械求积,原理：定积分曲边梯形的面积理论基础：积分中值定理f()=?,矩形公式与梯形公式,左矩形右矩形中矩形梯形,机械求积一般公式,问题适当取求积节点 和求积系数A0,An，计算函数值 f(x0),f(xn),近似解误差 T(f)-Q(f),2.Newton-Cotes公式,插值型求积公式:P(x)是f(x)的一个插值函
2、数(linear,Lagrange,Hermite,spline等)Newton-Cotes公式:采用等距节点Lagrange插值,低阶Newton-Cotes公式,梯形公式(n=1)Simpson公式(n=2)Cotes公式(n=4)数值稳定性:n8时，Cotes系数非负且和为1,3 代数精度,定义：若机械求积公式 对所有幂函数f(x)=1,x,x2xm准确，则称它具有m次代数精度。性质：具有m次代数精度对所有次数不超过m次的多项式准确。代数精度：梯形公式(n=1)1次，Simpson公式(n=2)3次，Cotes公式(n=4)5次。n为奇数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n
3、；n为偶数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n+1。,用代数精度构造插值公式,例题 求A1,A2及x2，使求积公式代数精度尽量高解：得 A1=1/4,A2=3/4，x2=2/3,4 Gauss求积公式,考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式的待定参数达2n+2个，从而可期望代数精度达到2n+1，称此类高精度的求积公式为Gauss公式，而对应节点称为Gauss点。一点Gauss(n=0)(中矩形公式)-1,1上的两点Gauss公式,-1,1上的Gauss点,n次Legendre多项式定理5.1-1,1上n-1阶Gauss点恰为n次Legendre多项式的根。,Matlab命令q
4、uadl使用Lobatto积分,Lobatto积分公式为Gauss公式的修正，总将上下端点作为节点，n阶Lobatto积分公式的代数精度达到2n-1,比Gauss公式略低.Lobatto积分求积系数恒正（P131）。,一般区间a,b上的Gauss积分,变换到-1,1一般区间a,b上的两点Gauss公式,5.2数值积分的余项,引理5.1（积分中值定理）若f(x),g(x)均在a,b上连续且不变号,则存在a,b 使 左矩形公式余项(证明:用Taylor公式)中矩形公式余项(证明:用Taylor公式),低阶情形,梯形公式余项(证明:用积分中值定理)Simpson公式余项(证明:用积分中值定理+Her
5、mite插值),一般情况,Newton-Cotes系列公式余项(证明略)Gauss系列公式余项证明:类似Simpson余项,利用2n+1次Hermite插值余项.,5.3 复化求积法与步长的选取,复化求积原理定步长梯形法条件:f(x)在a,b连续,2阶收敛性,定步长Simpson法条件:f(4)(x)在a,b连续P119 例5.13(Simpson法精度高),4阶收敛性,变步长梯形法,递推关系逐级计算而在增加新节点时,不浪费原先的计算量,并且可由|T2n(f)Tn(f)|控制计算精度。,xi-1,xi,xi-1/2,Romberg公式,由|R2n(f)Rn(f)|控制计算精度,j i=1,2,
6、由|Tii(f)Ti-1 i-1(f)|控制计算精度.,自适应步长法(略),根据被积函数的陡缓自动选择局部步长 考虑某区间ak,bk,记hk=bk ak,从a,b开始按=|0.1(S2-S1)|检查精度，若满足精度则以S2为计算结果，否则分成两个小区间各自重复逐步上述过程，每个小区间精度用/2。这样重复下去，直至每个分段部分达到相应精度（步长为h=(b-a)/2k时精度/2k）不同段的步长可能是不一样的，积分结果为每一小段积分的总和。,例5.15,这里共使用了6个区间，调用函数13次，如果用等步长Simpson法达到该精度，需要调用函数17次。主要原因是自适应步长利用了函数的陡缓自动选择局部步长，变化快的地方细分，变化慢的地方粗分,5.4 数值微分法,1 差商法 向前差商公式 向后差商公式 中心差商公式,差商公式比较,中心差商精度比较高,插值型求导公式,两点公式与三点公式,差商公式+余项,习题P134,ex1,ex2ex3,ex4ex6,ex7ex11,ex12,
