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1、导数的概念及基本函数的导数,一、复习目标,了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导数的概念,熟记常见函数的导数公式 c,xm(m 为有理数),sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数,并能熟练应用它们求有关导数.,二、重点解析,导数概念比较抽象,其定义、方法一般不太熟悉,因此对导数概念的理解是学习中的一个难点.本节要重点掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法.一方面,根据导数定义求导可进一步理解导数的概念,另一方面,许多法则都是由导数定义导出的.,导函数(导数)是一个特殊的函数,它的引出和定义始
2、终贯穿着函数思想,首先定义函数 y=f(x)在点 x0 处可导,且在 x0 处有唯一的导数 f(x0),然后定义函数 y=f(x)在开区间(a,b)内可导,因而对于开区间(a,b)内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数 f(x0).据函数定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新函数,即导数.,三、知识要点,1.导数的概念,f(x0)或 y|x=x0,即:,求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的步骤:,(1)求函数的增量:y=f(x0+x)-f(x0);,如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说 f(x)在开区间(a,b)内可导.这时,对于开区间(a,b)内每一个确定的值
3、x0,都对应着一个确定的导数 f(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作 f(x)或 y(需指明自变量 x 时记作 yx),即:,函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f(x0),就是曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率 k,即:k=tan=f(x0).相应的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).,2.导数的意义,(1)几何意义:,(2)物理意义:,函数 S=s(t)在点 t0 处的导数 s(t0),就是当物体的运动方程为 S=s(t)时,物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v,即:v=
4、s(t0).设 v=v(t)是速度函数,则 v(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的加速度.,导函数也简称导数.当 x0(a,b)时,函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)等于函数 f(x)在开区间(a,b)内的导数 f(x)在点 x0 处的函数值.,如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导,那么函数 y=f(x)在点 x0 处连续,但要注意连续不一定可导.,3.几种常见函数的导数,(1)c=0(c 为常数),(xn)=nxn-1(nQ);,(2)(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx;,(4)(ex)=ex,(ax)=axlna.,典型例题 1,解:(1)要使 f(x)在
5、x=0 处连续,则需,故当 b=1 时,可使 f(x)在 x=0 处连续.,故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时,f(x)在 x=0 处可导.,综上所述,当 b=1,aR 时,f(x)在 x=0 处连续,当 a=b=1 时,f(x)在 x=0 处可导.,(2)由(1)知,f(0)=1,又 f(0)=1,故曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0)处的切线方程为,y-1=x-0,即 x-y+1=0.,典型例题 2,若 f(x)在 R 上可导,(1)求 f(-x)在 x=a 处的导数与 f(x)在 x=-a 处的导数的关系;(2)证明:若 f(x)为偶函数,则 f(x)为奇函数.,(1)
6、解:设f(-x)=g(x),则,=-f(-a).,f(-x)在 x=a 处的导数与 f(x)在 x=-a 处的导数互为相反数.,(2)证:f(x)为偶函数,f(x)为奇函数.,=-f(x),注:本题亦可利用复合函数的求导法则解决.,典型例题 3,已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且直线 l 与曲线 C 相切于点(x0,y0)(x00),求直线 l 的方程及切点坐标.,点(x0,y0)在曲线 C 上,y0=x03-3x02+2x0.,又 y=3x2-6x+2,在点(x0,y0)处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0.,x02-3x0+2=3x02-6x0+2.,整理得
7、2x02-3x0=0.,注 有关曲线的切线问题,可考虑利用导数的几何意义.曲线 C 在某一定点处的切线是唯一的,因此斜率也是唯一的(若存在的话),采用斜率相等这一重要关系,往往都可解决这类问题.,典型例题 4,它在 P 处的切线斜率 k1=-2,课后练习 1,=1,f(x)在 x=1 处不可导.,注 判定分段函数在“分界点处”的导数是否存在,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果存在且相等,那么这点的导数存在,否则不存在.,课后练习 2,若函数 f(x)=|x|,(1)试判断 f(x)在 x=0 处是否可导;(2)当 x0时,求 f(x)的导数.,解:(1)y=f(0+x)-f(0)=|x|,
8、故函数 f(x)=|x|在点 x=0 处不可导.,(2)当 x0 时,可使 x+x0.,=1.,同理可得,当 x0 时,f(x)=-1.,注 函数在一点连续,但不一定可导;函数在一点可导,直观反映是函数的图象在这一点是平滑的.,课后练习 3,一质点作直线运动,它所经过的路程 S(单位:m)和时间 t(单位:s)的关系是 S=3t2+t+1.(1)求 2,2.01 这段时间内质点的平均速度;(2)当 t=2 时的瞬时速度.,解:(1)S=32.012+2.01+1-(322+2+1),=0.1303.,=13.03(m/s).,(2)S=3(t+t)2+(t+t)+1-(3t2+t+1),=3t
9、2+(1+6t)t,=3t+1+6t.,=6t+1.,v|t=2=13.,即当 t=2 时,质点运动的瞬时速度为 13m/s.,注(2)亦可直接对函数求导后解决.,课后练习 4,如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行,求切点坐标与切线方程.,解:切线与直线 y=4x+3 平行,切线斜率为 4.,又切线在 x0 处斜率为 y|x=x0,3x02+1=4.,x0=1.,当 x0=1 时,y0=-8;,当 x0=-1 时,y0=-12.,切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).,切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.,=(x3+x-10)|x=x0,=3x02+
10、1.,课后练习 5,已知曲线 S:y=x3-6x2-x+6.(1)求 S 上斜率最小的切线方程;(2)证明:S 关于切点对称.,(1)解:由已知 y=3x2-12x-1,当 x=2 时,y 最小,最小值为-13.,S 上斜率最小的切线的斜率为-13,切点为(2,-12).,切线方程为 y+12=-13(x-2),即 13x+y-14=0.,(2)证:设(x0,y0)S,(x,y)是(x0,y0)关于(2,-12)的对称点,则 x0=4-x,y0=-24-y.,(x0,y0)S,-24-y=(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6.,整理得 y=x3-6x2-x+6.,(x,y)S.,曲线 S 关于切点(2,-12)对称.,课后练习 6,解:设 P(x0,y0),则 kl1=y|x=x0,直线 l2 垂直 l1,又易得 xK=x0,
