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1、一、积分的定义,1.有向曲线:,设C为平面上给定的一条光滑(或分段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,第三章 复变函数的积分,第一节 复积分的概念极其简单性质,简单闭曲线正向的定义:,简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.,分段光滑的简单闭曲线简称为周线.,2.积
2、分的定义:,(,二、积分存在的条件及其计算方法,1.存在的条件,证,参数增加的方向,正方向为,根据线积分的存在定理,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,在形式上可以看成是,公式,2.积分的计算方法,在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线 C 是按段光滑的.,即,例1,解,直线方程为,这两个积分都与路线C 无关,例2,解,积分路径的参数方程为,例3,解,积分路径的参数方程为,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,一个重要而常用的积分公式,复积分与实变函数的定积分有类似的性质.,绝对不等式,三、复积分的性质,例4,解,根据估值不等式知,一、问题的提出,此时积分与路线无关.
3、,第二节 柯西积分定理,由于不满足柯西黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.,由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.,二、柯西积分定理,定理中的 C 可以不是简单曲线.,关于定理的说明:,(1)如果曲线 C 是区域 B 的边界,(2)如果曲线 C 是区域 B 的边界,定理仍成立.,例1,解,根据柯西积分定理,有,例2,证,由柯西积分定理,由柯西积分定理,由上节例4可知,三、典型例题,例3,解,根据柯西积分定理得,(1)注意定理的条件“单连通域”.,(2)注意定理的不能反过来用.,应用柯西积分定理应注意什么?,1.问题的提出,根据本章第一节的讨论可知,由此希
4、望将柯西积分定理推广到多连域中.,四、柯西积分定理的推广复合闭路定理,2.闭路变形原理,得,解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,闭路变形原理,说明:在变形过程中曲线不经过函数 f(z)的不解析的点.,3.复合闭路定理,那末,4.典型例题,例1,解,依题意知,根据复合闭路定理,例2,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,例3,解,由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为 不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线 内即可.,例4,解,由上例可知,复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点.,常用结论
5、:,定理一,由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,1.两个主要定理:,五、原函数与不定积分,定理二,证,利用导数的定义来证.,由于积分与路线无关,由积分的估值性质,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.,证毕,2.原函数的定义:,原函数之间的关系:,3.不定积分的定义:,定理三,(类似于牛顿-莱布尼兹公式),证,根据柯西积分定理,证毕,说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,4.典型例题,例1,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,例2,解,(使用了微积分学中的“凑微分”法),例3,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,另解,此方法使用了微积分
6、中“分部积分法”,例4,解,利用分部积分法可得,课堂练习,答案,例5,解,例6,解,所以积分与路线无关,由牛顿-莱布尼兹公式知,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化,而改变,求这个值。,第三节 柯西积分公式及其推论,二、柯西积分公式,定理,证,此式称为柯西积分公式,证,根据闭路变形原理知,左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.,(这是研究解析函数的有
7、力工具),(3)解析函数的平均值定理：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,则有,柯西积分公式的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.,三、典型例题,例1,解,由柯西积分公式,例2,解(1),由柯西积分公式,由柯西积分公式,这种解法对吗？为什么？,例3,解,由柯西积分公式,例4,解,由闭路复合定理,得,例5,解,根据柯西积分公式知,比较两式得,例6,解,被积函数 是多值函数，支点为,f(z)的原函数 仍是多值函数，在代入上、下限时需要考虑对应的单值分支。,0,1,其中积分方向应是顺时针方向.,柯西积分公式对无界区域也
8、是成立的，,五、解析函数的无穷可微性,问题:,(1)解析函数是否有高阶导数?,(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?,回答:,(1)解析函数有各高阶导数.,(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.,解析函数高阶导数的定义是什么?,定理,证,根据导数的定义,从柯西积分公式得,再利用以上方法求极限,从而证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,依次类推,利用数学归纳法可证,证毕,高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,例1,解,由复合闭路定理,例2,解,例3,解,由柯西积分定理得,由柯西积分公式得,例4,解,六、柯西不
9、等式与刘维尔(Liouville)定理,定理1(柯西不等式)设 在区域D内解析，为D内,一点，区域 包含于D，则有,其中,证明：在 上应用高阶导数公式，则有,由柯西不等式，容易得到刘维尔定理。,刘维尔定理:z平面上解析且有界的函数 必为常数,由刘维尔定理，可以证得到代数学基本定理。,代数学基本定理在z平面上，n次多项式,（）至少有一个零点,证(反证法)假设 在z平面上无零点，由于 在平面上解析，,从而 在z平面上也是解析的其次，由于,所以,，于是，使得，。,又因为 在 上连续，故，使得，,从而在z平面上有，即 在z平面上解析且有界，,因此根据刘维尔定理，为常数，故 亦为常数，,这与已知 为多项
10、式矛盾，定理得证,七、摩勒拉(Morera)定理,柯西积分定理说明，只要 在单连通区域D内解析，则对D内任一围线均有。我们现在证明其逆也是正确的,摩勒拉定理设函数 在单连通区域D内连续，且对D内任一围线C，有，则 在D内解析,证,依题意可知,可由导数的定义证明,因为解析函数的导数仍为解析函数,例6,证,不等式即证.,例7,证,积分值与R无关，故有f(a)=f(b).由a,b的任意性得f(z)为常数.,例8,证,任取一点z=a,取围道C为|z|=R|a|,逆时针方向,由柯西积分公式有,即有,由a的任意性得f(z)为常数.,小结：高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数
11、这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.,高阶导数公式,这一点与实变量函数有本质的区别.,定义,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.,第四节 解析函数与调和函数的关系,一、调和函数的定义,定理,任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,证,二、解析函数与调和函数的关系,根据解析函数高阶导数定理,证毕,三、共轭调和函数的定义,区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,四、偏积分法,如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法.,解,得一个解析函数,这个函数可以化为,例1,例2,解,所求解析函数为,五、不定积分法,不定积分法的实施过程:,将上两式积分,得,例3,解,根据调和函数的定义可得,所求解析函数为,用不定积分法求解例1中的解析函数，其,例4,解,例5,解,用不定积分法求解例2中的解析函数,其,例6,解,两边同时求导数,所以上面两式分别相加减可得,注1 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.,注2 满足柯西黎曼方程ux=vy,vx=uy,的v称为u的共轭调和函数,u与v注意的是地位不能颠倒.,
