复变-主要内容浏览式总复习.ppt

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1、,教材：杨，复变，科学出版社参考:吴，复变，华工出版社,复变函数论,多媒体教学课件,覃永安主讲31386336，2009.9,主要内容浏览式总复习,第一章 复数与复变函数,第二章 解析函数,第三章 复变函数的积分,第四章 级数,第五章 留数,第六章 共形映射,第一章、复数与复变函数,1.1-1.2 复数,复数:,复数相等是指?虚数?纯虚数?,复数的四则运算:,复平面:,复平面:,模：,非零复数的辐角：,复数的共轭：,复数的三角表示:,复数加、减法的几何表示如下图：,基本不等式:,例1试用复数表示圆的方程:,例2,设、是两个复数，证明：,三角表示的乘法：,三角表示的乘法：,欧拉公式；指数表示式；

2、三种表示式的互化:关键是会用 表示幅角。,复数的乘幂：,复数的乘幂：,可以看到，k=0,1,2,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形。,例5、求所有值：,解：由于,所以有,有四个根。,复球面与无穷大:,无穷远点:,对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，,称 为扩充复平面，记为。,无穷远点:,关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义：,第一章、复数与复变函数 1.3 平面点集与区域,初步概念:,a的r邻域U(a,r)：,以

3、a为圆心，r为半径的闭圆盘定义为：,a的r去心邻域,极限点、内点、边界点:,中有无穷个点，则称a为的E极限点；,则称a为E的内点；,中既有属于E的点，又有不属于E的点，则称a为的E边界点；集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，记为,闭包、孤立点、开集、闭集:,称为D的闭包，记为,若对存在一个r0，使得,则称a为的E孤立点（是边界点但不是聚点）；开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；1、任何集合的闭包一定是闭集；2、如果存在r0，使得，,则称E是有界集，否则称E是无界集；,无穷远点的邻域:,对一切r0,集合,称为无穷远点的一个r邻域。类似地，我们可以定义无穷远点

4、为聚点、内点、边界点与孤立点，的开集、闭集等概念。,区域、曲线:,复平面C上的集合D，如果满足：（1）、D是开集；（2）、D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。则称D是一个区域。,连通性:,性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。,曲线:,设已给,连续曲线,简单连续曲线,简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。,若尔当定理:,若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。,光滑曲线:,光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区

5、间a,b上连续，且有连续的导函数，在a,b上，其导函数恒不为零，则称此曲线为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。,区域的连通性:,单连通区域;多连通区域。,例5、在扩充复平面上，集合,为单连通的无界区域，其边界为,而集合,为多连通的无界区域，其边界为：,第一章 复数与复变函数 1.4-1.5 复变函数,复变函数的定义:,注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若记 z=x+iy，w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y)。,函数的几何意义:,函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。,函数的几何意义:,单射

6、，双射，一一对应，反函数。,复变函数极限的定义,复变函数极限与实值函数极限,注解：,1、几何意义：2、与重极限的关系：3、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）,复变函数连续性的定义,复变函数连续性与实值函数连续性的关系,注1、实初等函数在其有定义的地方连续。,注解：,1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）；2、复合运算；3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、取到极大模和极小模等）。4、同样我们也可以定义非正常极限。,例6,第二章 解析函数 2.1-2.2 解析函数概念及充要条件,导数,解析,Cauchy-Riem

7、ann方程,解析的充要条件,2.3 初等函数(1)指数函数与对数函数,指数函数的定义：,指数函数的基本性质,对数函数的定义：,对数函数的主值：,三种对数函数的联系与区别：,对数函数的基本性质,2.3 初等函数(2)三角函数与反三角函数,三角函数的概念:,三角函数的基本性质:,则对任何复数z，Euler公式也成立：,cosz和sinz是单值函数；cosz偶，sinz奇;,所有三角公式也成立.,三角函数的基本性质:,cosz和sinz以 为周期,零点也与实的一样.,三角函数的基本性质:,不成立:,三角函数的基本性质:,在整个复平面解析：,其它三角函数,反三角函数,掌握计算表达式的推导方法,2.3初

8、等函数（3）幂函数 双曲、反双曲函数,幂函数的定义:,当a为正实数，且z=0时，还规定,幂函数的基本性质：,等于n次方根.,幂函数的基本性质：,幂函数的基本性质：,其中 应当理解为某个分支。,双曲函数,chz和shz以2pi为周期,chz偶,shz奇(chz)=shz,(shz)=chz,反双曲函数计算公式的推导方法类似于反三角函数,第三章 复变函数的积分,3.1复积分的概念,复变函数积分的定义,准备:有向曲线，记号C，C-.,简单闭曲线的正方向。,（逆时针,或指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时,邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方),定义 设w=f(z)定义于有向曲线C上.任取分点A=z

9、0,z1,.,zk-1,zk,.,zn=B,任取点k,),1,.,3,(,),(,lim,d,),(,),(,.,max,),(,),)(,(,1,1,1,1,1,1,=,-,=,=,-,=,=,=,=,-,=,n,k,k,k,n,C,n,k,n,k,k,k,k,n,k,k,k,n,k,k,k,k,n,z,f,z,z,f,C,z,f,S,n,s,z,z,s,z,f,z,z,f,S,z,d,d,z,z,记作,的积分,沿曲线,则称其为,有唯一极限,如,趋于零,无限增加且,当,的长度,记,作和式,容易看出,当C是x轴上的区间axb,而f(z)=u(x)时,这个积分定义就是一元实函数定积分的定义.,积

10、分存在的条件及计算积分的方法,设光滑曲线C由参数方程z=z(t)=x(t)+iy(t),atb给出,如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在C上处处连续,则u(x,y)及v(x,y)均为C上连续函数.,设zk=xk+iyk,因zk=zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=xk+yk,所以,由于u,v连续,根据线积分的存在定理,上式右端两个和式极限存在.因此有,综上得到:,又由于上式右端可以写成,于是,我们得到iii)计算复积分的直接方法是:把参数方程代入,注:如果C是由C1,C2,.,Cn等光滑曲线首尾连接而成,则我们定义,左或右端

11、,化为定积分.,例3.1 计算,其中C为原点到点3+4i的直线段.,在C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt.于是,解直线的方程可写作x=3t,y=4t,0t1,或z=3t+i4t,0t1.,例3.2 计算,z0,r,q,z-z0=reiq,z,O,x,y,其中C为以z0为中心,r为半径的正向圆周,n为整数,（重要例题!）,解 C的方程可写作z=z0+reiq,0q2p,dz=ireiqdq,所以,(牢记此结果!),积分的性质,(1)-(3)由线积分的相应性质得.,(4)由复积分的定义得到(?).,小结,以上讲了,复积分定义:分割,取点,求和,取极限.,直接计算法:把曲线参数方程代入

12、化为定积分.,存在性:连续函数必可积.,性质:反向变号,线性,模不等式.,一个重要例题:,3.2-3.4 柯西定理 复合闭路定理 原函数与不定积分,沿某一条曲线,第三章 复变函数的积分,柯西定理,C,B,定理 设 f(z)在单连通区域B内解析,C是B内一条闭曲线,则,柯西定理:设f(z)在以简单闭曲线C为边界的有界单连通域D内解析,在 上连续,则,变形过程中不能够经过f(z)不解析的点.,连续形原理,复合闭路定理:,D,C,C1,C2,C3,特别,记得这个结果,典型例题,G为包含圆周|z|=1在内的简单闭曲线,x,y,O,1,G,C1,C2,定理:如果函数f(z)在单连通域B内处处解析,则积分

13、 与连接起点及终点.的路径C无关.,对函数我们有,定理:如果f(z)在单连通域B内处处解析,则函数F(z)必为B内的一个解析函数,并且 F(z)=f(z).,“牛-莱公式”,目前已学的求积分的方法,1.把参数方程代入化为定积分;,2.用柯西定理;,3.用复合闭路定理;,4.用“牛-莱公式”;,.,注：“求积分的方法”这串珠子可把复变的许多重要知识点连在一起!建议补充与总结。,第三章 复变函数的积分复积分的概念柯西定理复合闭路定理原函数与不定积分,本章小结,柯西积分公式高阶导数公式解析函数与调和函数的关系,分割,取点,求和,取极限.,复积分概念:,柯西-古萨定理:,D,C,复合闭路定理:,D,C

14、,闭路变形原理:,一个重要的结果:,z0,r,.z0,更一般:,积分的模不等式:,.z0,柯西积分公式:,z0,平均值公式:,.z0,D,C,高阶导数公式:,解析函数的无穷可微性（重要特性）,由复合闭路定理,典型例子:,更一般地,高阶导数公式的应用（补充知识,不要求掌握）,柯西不等式:,z0,C,刘维尔:复平面上解析且有界的复函数是常数.,代数基本定理:在复平面上n次多项式至少有一个零点.,实部和虚部调和;调和是实部,也是虚部.,由实部或虚部求解析函数:偏积分法,不定积分法,线积分法.,解析与调和,总之,本章介绍了复积分的概念和几个积分定理和公式,核心是掌握复积分的计算.已介绍的方法有:,提要

15、,此外,还有用级数计算(ch4),用留数计算(ch5).,(1)将曲线的参数方程代入，化为定积分;,(2)求不定积分，用牛顿-莱布尼兹公式计算;(前提条件?),(3)用柯西积分公式以及高阶导数公式计算.,另外,要掌握已知解析函数的实部或虚部求解析函数的方法(偏积分法、不定积分法、线积分法)(掌握一种).,4.1 复数项级数,第四章 级数,复数序列,zn,极限,定理:序列zn收敛（于z0）的必要与充分条件是：序列an收敛（于a）以及序列bn收敛（于b）。(充要条件)(归结性),复数项级数就是,部分和序列：,如果序列 收敛，那么我们说级数 收敛；,定理:如果级数 收敛，那么,充要条件,归结性?,绝

16、对收敛,相对收敛,定理:级数 绝对收敛的充要条件是：,级数 以及 绝对收敛.,定理:若级数绝对收敛，则它一定收敛。,柯西收敛原理（复数项级数）：级数,收敛必要与充分条件是：任给,可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,时,柯西收敛原理（复数序列）：序列,收敛必要与充分条件是：任给,可以找到一个正整数N，使得当m及nN，,定理:如果复数项级数 及 绝对收敛,并且它们的和分别为,那么级数（它们的柯西积）,也绝对收敛，并且它的和为,(证略),4.2 幂级数,第四章 级数,函数项级数,复变函数项级数:,部分和:sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z),复变函数项级数,在 z0 收敛

17、:,和:s(z0).,在D内处处收敛,则有和函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.,函数项级数,幂级数,定理(阿贝尔Abel),z0,x,y,O,幂级数,收敛圆:,在收敛圆的外部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.,收敛圆的半径R称为收敛半径.,在收敛圆上是否收敛,则不一定.,幂级数,幂级数,收敛半径的求法:,幂级数,幂级数的运算和性质:,幂级数,更为重要的是代换(复合)运算:,这个代换运算,在把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用.,幂级数,幂级数的运算和性质:,幂级数,幂级数的运算和性质:,幂级数,幂级数的运算和性质:,3)可逐项积分,即,第四章 级 数,4.

18、3 泰勒级数,泰勒展开式定理,定理 设函数f(z)在圆盘,内解析，那么在U内，,解析函数的幂级数刻画,定理 函数f(z)在一点z0解析的必要与充分条件是：它在z0的某个邻域内有幂级数展式。,解析函数幂级数展式的唯一性定理,定理 在幂级数展开式定理中，幂级数的和函数f(z)在U内不可能有另一种形式的幂级数。注解：于是,我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式，所得结果一定相同。常用的方法有:直接法-直接计算系数法,间接法-代换(复合)运算法、导数(或积分)法.,例1、求函数,牢记这三个函数的展式!,sinz,cosz=?,例2、,|z|1。,例3、求,的解析分支 在z=0的泰勒展式（其中a不是整数

19、）.,|z|1,例3、,其中,这是二项式定理的推广，对a为整数情况也成立。,例4、,函数sec z 在,解析函数的零点,z0是f(z)的m阶零点,单零点。,如果z0是解析函数f(z)的一个m阶零点，那么显然在它的一个邻域U内,其中 在U内解析。,解析函数的零点,定理 设函数f(z)在z0解析，并且z0是它的一个零点，那么或者f(z)在z0的一个邻域内恒等于零，或者存在着z0的一个邻域，在其中z0是f(z)的唯一零点。,此性质我们称为解析函数零点的孤立性。,解析函数的唯一性(补充知识,不作要求),定理（解析函数的唯一性定理）设函数f(z)及g(z)在区域D内解析。设zk是D内彼此不同的点(k=1

20、,2,3,)，并且点列zk在D内有极限点。如果，,那么在D内，f(z)=g(z)。,重点,掌握泰勒展开式定理的内容,会求一个给定的函数的泰勒展开式(直接法或间接法).,第四章 级 数,4.3 洛朗级数,解析函数的洛朗展式：,我们称级数,为洛朗级数。收敛?和函数?收敛域?解析部分?主要部分?,洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数，反之,圆环内的解析函数必可展开为洛朗级数即有,洛朗定理：,洛朗定理 设函数f(z)在圆环：,内解析，那么在D内,其中，,是圆 是一个满足的任何数。,洛朗展式的唯一性：,同一个圆环域内同一解析函数的洛朗展式是唯一的.,求洛朗展式一般用间接法,要求掌握好.,第五章 留 数,

21、5.1 孤立奇点,解析函数的孤立奇点：,为f(z)的孤立奇点:,孤立奇点的分类可去奇点：,(1)可去奇点:无负幂项.,孤立奇点的分类-极点：,（2)极点:有有限个负幂项.,单极点,m阶极点.,孤立奇点的分类本性奇点：,（3）、本性奇点:无限多负幂项,可去奇点的刻画：,定理 函数f(z)在,内解析，那么 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，,其中 是一个复数。,可去奇点的刻画：,定理 函数f(z)在,内解析，那么 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在某一个正数,使得f(z)在 内有界。,极点的刻画：,定理 设函数f(z)在,内解析，那么 是f(z)的极点的必要与充分条件是

22、：,极点的刻画：,定理(m阶极点的结构)z0是函数f(z)的m阶 极点的充要条件是存在某个正数,使得在 内f(z)可以表示为,本性奇点的刻画：,定理 函数f(z)在,内解析，那么 是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限,解析函数在无穷远点的性质,设函数f(z)在区域,内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：,解析部分,主要部分.,解析函数在无穷远点的性质,（1）可去奇点:无正幂项.,（2）极点:有有限个正幂项.,单极点,m阶极点.,（3）本性奇点:无限多个正幂项.,在无穷远点解析.,解析函数在无穷远点的性质,设无穷远点为f(z)的

23、孤立奇点,令，,如果w=0是 的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说 是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。,等价地可定义:,解析函数在无穷远点的性质,定理 设函数f(z)在区域 内解析，那么 是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在 内有界。,定理 设函数f(z)在区域 内解析，那么 是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：,存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限。,第五章 留数,5.2 留数,如果z0是f(z)的孤立奇点,我们把积分,留数的概念,定义为f(z)在孤立奇点z0的留数，记作,其中C是绕z0的正向简单闭曲线,f

24、(z)在C上及C内解析.,注解,注解2(定理)f(z)在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中,的系数。,注解3、如果z0是f(z)的可去奇点，那么,留数定理,定理1.1（留数定理）设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是简单闭曲线或复合闭路。设f(z)在D内除去有孤立奇点,外，在每一点都解析，并且它在C上每一点都解析，那么我们有：,这里沿C的积分是按关于区域D的正向取的。,留数定理的基本思想,留数的求法:,1)可去奇点(或解析):0,2)本性奇点:展为洛朗级数,再用,3)极点:以下方法,一阶极点留数的计算：,设z0是f(z)的一个一阶极点。因此在去掉中心z0的某一圆盘内,其中,在这个圆盘内

25、包括z=z0解析且在z0不等于0，其泰勒级数展式是：,一阶极点留数的计算：,1)如果容易求出 的泰勒级数展式，那么由此可得,一阶极点留数的计算：,如果在上述去掉中心z0的圆盘内（），,其中P(z)及Q(z)在这圆盘内包括在z0解析，,z0是Q(z)的一阶零点，并且Q(z)在这圆盘内没有其他零点，那么z0是f(z)的一阶极点，且,高阶极点留数的计算：,设z0是f(z)的一个k阶极点(k1)。则在去掉中心z0的某一圆盘内,其中 在这个圆盘内包括z=z0解析且在z0不等于0，其泰勒级数展式是：,高阶极点留数的计算：,1)如果容易求出 的泰勒级数展式，那么,用留数计算复积分,例1 计算积分,C为正向圆

26、周:|z|=2.,解:由于,有两个一级极点,+1,-1,而且都在圆周C内,所以,定义：设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线,则积分,的值与具体的C无关,称其为f(z)在点的留数,记作,在无穷远点的留数-定义,定理（留数和定理）如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,在无穷远点的留数-留数和定理,在无穷远点的留数-留数的计算,无穷远点留数的计算公式:,在无穷远点的留数-用于计算复积分,例2 计算积分,解:,在无穷远点的留数-用于计算复积分,计算后两个留数较方便.,第五章 留数,5.3 留数在

27、定积分计算上的应用,一.型如,的积分，其中R(x,y)是有理分式被积函数是t的连续函数.,留数定理的应用-实积分的计算:,解法：令，那么,原积分化为 再用留数求此积分.,的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次，即积分绝对收敛。,留数定理的应用-实积分的计算:,二.型如,解法:均如下例.,例2、计算积分,留数定理的应用-实积分的计算:,引理3.1设f(z)是闭区域,上连续的复变函数，并且设,那么我们有,是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段,如果当z在这闭区域上时，,留数定理的应用-实积分的计算:,的积分，其中f(z)在,上可能有有限个孤立

28、奇点外，在其他每一点解析，而且当z在,上时，引理中的条件满足,留数定理的应用-实积分的计算:,三.型如,即当z在 时，,解法:如下例.,例3、计算积分,思路：取r0，则有,留数定理的应用-实积分的计算:,于是,由引理,第二个积分趋于0.,留数定理的应用-实积分的计算:,注：,如果函数f(x)在上半平面可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些广义积分，如下面的例子。,留数定理的应用-实积分的计算:,例4、计算积分,留数定理的应用-实积分的计算:,第六章 共形映射,6.1 共形映射的概念,z(t0),z(a),z(b),z(t0),曲线的切向量z(t0)

29、:,6.1 共形映射的概念,2)相交于一点的两条曲线C1与C2正向 之间的夹角就是它们交点处切线 正向间夹角.,O,x,z(t0),P0,C,切线的正向:,1)Arg z(t0)就是z0处C的切线正向 与x轴正向间的夹角;,w=f(z),z=z(t),atb,w=fz(t),atb,f(z0)0,结论:1)导数f(z0)0的辐角Arg f(z0)是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角;,2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.,通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f(

30、z0).,O,x,y,O,u,v,(z),(w),z0,w0,保角性,O,x,y,O,u,v,(z),(w),z0,w0,a,C1,C2,G1,G2,曲线C在z0的伸缩率:,(6.2)表明:|f(z)|是经过映射w=f(z)后通过点z0的任何曲线C在z0的伸缩率,它与曲线C的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.,定理 设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一 点,且f(z0)0,则映射w=f(z)在z0具有两个性质:,解析函数导数的几何意义,1)保角性.即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变.,2)伸缩率的不变性.即通过z0的任何

31、一条曲线的伸缩率均为|f(z0)|而与其形状和方向无关.,定义 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的,在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是共形的,或称w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在D内的每一点都是共形的,就称w=f(z)是区域D内的共形映射.,解析函数的共形性,定理 如果函数w=f(z)在z0解析,且f(z0)0,则映射w=f(z)在z0是共形的,而且Arg f(z0)表示这个映射在z0的转动角,|f(z0)|表示伸缩率.,如果解析函数w=f(z)在D内处处有f(z)0,则映射w=f(z)是D内的共形映射.,定理的几何意义:在D内作以z0为其一

32、个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为|f(z0)|,对应角相等,这两个三角形近似相似.,O,x,y,O,u,v,(z),(w),z0,w0,a,C1,C2,G1,G2,O,x,y,O,u,v,(z),(w),z0,w0,a,C1,C2,G1,G2,第六章 共形映射,6.2 分式线性映射,分式线性函数的定义,分式线性函数是指下列形状的函数：,其中 是复常数，而且。,分式线性函数的反函数也是分式线性函数.,注解：,注解1、当 时，所定义的分式线性函数是把z平面双射到w平面，即把C双射到C的解析函数；,注解2、当 时，所定义的分式线性函

33、数是把 双射到 的解析函数；,注解3、我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面。当 时，规定它把映射成；当 时，规定它把映射成；则把 双射到。,分式线性函数的拓广,可以把共形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域.,分式线性函数的拓广,注解4、分式线性函数把扩充z平面共形映射成扩充w平面。,（为一个复数）；,分式线性函数的分解,一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：（1）、,（2）、（为一个实数）；,（3）、（r为一个正数）；,（4）、。,分式线性函数的分解,把z及w看作同一个复平面上的点，则有：（1）、,确定一个平移；,分式线性函数的分解,（2）、,确定一个旋转；（3）、,确定一个

34、以原点为相似中心的相似映射；（4）、,是由 映射及关于实轴的对称映射 叠合而得。,定理(保圆性)：,规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。定理 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆。,定理(三点确定分式线性映射):,定理 对于扩充 z平面上任意三个不同的点,以及扩充 w平面上任意三个不同的点，,存在唯一的分式线性函数，把,依次分别映射成,注解与推论：,注解:交比,“1324,1423”.,推论 在分式线性函数所确定的映射下，交比不变。即设一个分式线性函数把扩充 z平面上任意不同四点 映射成扩充 w平面上四点，那么,定理,定理 扩充 z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成

35、扩充 w平面上任何圆。,关于圆的对称点：,注解3、关于直线的对称点和关于圆的对称点可以统一定义,见下述引理.,设已给圆,如果两个有限点 及 在过 的同一射线上，并且,那么我们说它们是关于圆C的对称点。,SNNU,引理:,引理 不同两点 及 是关于圆C的对称点的必要与充分条件是：通过 及 的任何圆与圆C直交。,定理(保圆的对称性）：,定理 如果分式线性函数把 z平面上圆C映射成 w平面上的圆C，那么它把关于圆C的对称点 及 映射成关于圆C的对称点 及。,两个特殊的分式线性函数：,(1)、试求把上半平面Imz0保形映射成单位圆盘|w|1的分式线性函数。,解：首先，这种函数应当一方面把Imz0内某一

36、点 映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。,由于线性函数把关于实轴Imz=0的对称点映射成为关于圆|w|=1的对称点，所求函数不仅把 映射成w=0，而且把 映射成。因此这种函数的形状是：,其中 是一个复常数。,把上半平面映射成单位圆内部的映射：,其次，如果z是实数，那么,于是，其中 是一个实常数。因此所求的函数应是,由于z是实数时，|w|=1，因此它把直线Imz=0映射成圆|w|=1，从而把上半平面Imz0映射成|w|1，又因为当 时，|w|=01，因此这个函数正是我们所要求的。,单位圆到单位圆内部的映射：,(2)、试求把单位圆|z|1保形映射成单位圆盘|w|1的分式线性函数。,解

37、：首先，这种函数应当把|z|1内某一点 映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。,不难看出，与 关于圆|z|=1的对称点是，和上面一样，这种函数还应当把 映射成 因此这种函数的形状是：,其中 是一个复常数。,两个特殊的分式线性函数：,其次，如果|z|=1时，那么,于是,因此，其中 是一个实常数。,所求的函数应是,由于当|z|=1时，|w|=1，因此它把圆|z|=1映射成圆|w|=1，从而把|z|1，又因为当 时，|w|=01，因此这个函数正是我们所要求的。,解:由条件w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0.所以由一般式,因为,例：,例1 求将上

38、半平面Im(z)0映射成单位圆|w|1且满足w(2i)=0,arg w(2i)=0的分式线性映射.,得,从而得所求的映射为,故有,例：,解:由条件w(1/2)=0知,所求的映射要将z=1/2 映射成|w|1的中心.所以由一般式,例：,例2 求将单位圆映射成单位圆且满足条件 w(1/2)=0,w(1/2)0的分式线性映射.,得,例：,解:(中介法).,例：,例3 求将Im(z)0映射成|w-2i|2且满足条件w(2i)=2i,arg w(2i)=-/2的分式线性映射,容易看出,映射z=(w-2i)/2将|w-2i|0映射成|1,且满足z(2i)=0 的映射是,例：,2i,(z),O,(),2i,

39、(w),w=2(i+),(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;,两个圆包围的区域的映射情况,最后,我们讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况.根据前面的讨论可知:,(II)当一圆周上有一个点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域;,(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.,O,例：,映射的角形区如图所示,O,C2,C1,O,u,v,(w),例：,本章提要:本章研究了解析函数的几何性质.可以说，在一一对应的条件下，函数解析等价于它所实现的图形之间的变换是保形映

40、射.这是解析函数的一个本质特性.这个特性在理论上和应用上都是很重要的.本章内容大致上可分为保形映射基础理论及初等函数的映射性质两大部分.,第六章 共形映射,6.3 几个初等函数构成的映射(补充知识,不作要求),在基本初等函数中，函数所对应的变换是最基本的变换.这一节研究它们的变换规律.,映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍,幂函数 w=zn,幂变换示意图:,O,(z),q0,O,(w),nq0,w=zn,(z),(w),O,O,上岸,下岸,w=zn,例1 求把角形域0arg z/4映射成单位|w|1 的一个保形映射.,例,(z),O,O,(z)

41、,1,(w),z=z4,例2 求把下图中由圆弧C1与C2所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个保形映射.,例,O,(z),1,指数函数 w=ez,由指数函数w=ez所构成的映射的特点是:把水平的带形域0Im(z)a(a2)映射成角形域0arg wa.因此,如果要把带形域映射成角形域,常常利用指数函数.,ai,O,x,y,(z),arg w=a,u,O,v,(w),2pi,O,x,y,(z),O,u,v,(w),w=ez,z=lnw,例3 求把带形域0Im(z)p映射成单位圆|w|1的一个保形映射.,解:由刚才的讨论知,映射=ez将所给的带形域映射成平面的上半平面Im(

42、)0.,例,例4 求把带形域a0的一个保形映射.,例,O,(z),a,b,(w),O,pi,(z),O,w=ez,本章提要:本章研究了解析函数的几何性质.可以说，在一一对应的条件下，函数解析等价于它所实现的图形之间的变换是保形映射.这是解析函数的一个本质特性.这个特性在理论上和应用上都是很重要的.本章内容大致上可分为保形映射基础理论及初等函数的映射性质两大部分.,第六章 共形映射,6.4 共形映射的基本问题(补充知识,不作要求),共形映射的基本问题,问题一：对于给定的区域D和定义在D上的解析函数 w=f(z)，求象集G=f(D)，并讨论f(z)是否将D保形地映射为G；问题二：给定两个区域D和G

43、，求一个解析函数w=f(z)，使得f(z)将D共形地映射为G；问题二一般称为基本问题，我们一般用单位圆作为一个中间区域(中介区域)。,图,注解1、解析函数把区域变成区域；注解2、边界对应确定映射函数；注解3、注意边界对应的方向性。,边界对应原理,图,保形映射的存在唯一性,注:单叶函数即单的映射.,共形映射实例：,在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|0保形映射成上半平面。,例1的解：,例2：,例2、求作一个单叶函数，把z平面上的带形,保形映射成w平面上的单位圆|w|1。,例2的解：,本章提要:本章研究了解析函数的几何性质.可以说，在一一对应的条件下，函数解析等价于它所实现的图形之间的变换是保形映射.这是解析函数的一个本质特性.这个特性在理论上和应用上都是很重要的.本章内容大致上可分为保形映射基础理论及初等函数的映射性质两大部分.,主要内容浏览式总复习结束,Thank you!,How beautiful the sea is!,Lets have a rest!,