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1、第一章,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,函数与极限,第一章,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,映射与函数,元素 a 属于集合 M,记作,元素 a 不属于集合 M,记作,一、集合,1.定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集,记作.,注:M 为数集,表示 M 中排除 0 的集;,表示 M 中排除 0 与负数的集.,简称集,简称元,表示法：,(1)列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,有限集合,自然数集,(2)描述法：,x 所具有的特征,例:整数集合,或,有理数集,p 与 q 互
2、质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,无限区间,点的 邻域,其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.,半开区间,去心 邻域,左 邻域:,右 邻域:,是 B 的子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算,定义2.,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如,显然有下列关系:,若,设有集合,记作,记作,必有,定义 3.给定两个集合 A,B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,或,二、映射,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位 的集合,引例1.,引例2.,引例3.,(点集),(点集),向 y 轴投影,定义4.,设
3、 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f,使得,有唯一确定的,与之对应,则称,f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像.,集合 X 称为映射 f 的定义域;,Y 的子集,称为 f 的 值域.,注意:,1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.,2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.,对映射,若,则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,引例2,3,引例2,引例2,例1.,海伦公式,例2.,如图所示,对应阴影部分
4、的面积,则在数集,自身之间定义了一种映射,(满射),例3.,如图所示,则有,(满射),(满射),X(数集 或点集),说明:,在不同数学分支中有不同的惯用,X(),Y(数集),f 称为X 上的泛函,X(),X,f 称为X 上的变换,R,f 称为定义在 X 上的函数,映射又称为算子.,名称.例如,定义域,三、函数,1.函数的概念,定义4.设数集,则称映射,为定义在,D 上的函数,记为,称为值域,函数图形:,自变量,因变量,(对应规则),(值域),(定义域),例如,反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式或实际问题有意义的自变量集合.,定义域,值域,又如,绝对值
5、函数,定义域,值 域,对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.,对实际问题,书写函数时必须写出定义域；,例4.已知函数,解:,f(x)的定义域,值域,2.函数的几种特性,设函数,且有区间,(1)有界性,使,称,使,称,说明:还可定义有上界、有下界、无界.,(2)单调性,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M,均存在,则称 f(x)无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数;,单调减函数.,(见 P11),(3)奇偶性,且有,若,则称 f(x)为偶函数;,若,则称 f(x)为奇函数.,说明:若,在 x=0 有定义,为奇函数时,则当,必有
6、,例如,偶函数,双曲余弦,记,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,说明:给定,则,偶函数,奇函数,(4)周期性,且,则称,为周期函数,若,称 l 为周期,(一般指最小正周期).,周期为,周期为,注:周期函数不一定存在最小正周期.,例如,常量函数,狄利克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,3.反函数与复合函数,(1)反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在一新映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数.,其反函数,(减),(减).,1)yf(x)单调递增,且也单调递增,性质:,使,其中,2)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,例如,对数函数,互为反函数,它
7、们都单调递增,指数函数,(2)复合函数,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,u 称为中间变量.,注意:构成复合函数的条件,不可少.,例如,函数链:,但可定义复合函数,时,虽不能在自然域 R下构成复合函数,可定义复合函数,当改,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.,4.初等函数,(1)基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2)初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数.,例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构
8、成,称为初等函数.,可表为,故为初等函数.,又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.,(自学,P17 P20),非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x=0,当 x 0,取整函数,当,设函数,x 换为 f(x),例5.,解:,例6.求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,内容小结,1.集合及映射的概念,定义域对应规律,3.函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.初等函数的结构,作业 P21 4(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;18,2.函数的定义及函数的二要素,第二节,且,备用题,证明,证:令,则,由,消去,得,时,其中,a,b,c 为常数,且,为奇函数.,为奇函数.,1.设,2.设函数,的图形与,均对称,求证,是周期函数.,证:,由,的对称性知,于是,故,是周期函数,周期为,
