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1、2 矩阵的运算,例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：,试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量,其中aij 表示上半年工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量,其中cij 表示工厂下半年向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量,解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量,一、矩阵的加法,定义：设有两个 mn 矩阵 A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵 A 与 B 的和记作 AB，规定为,说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,知识点比较,矩阵加法的运算规律,设 A、B、C 是同型矩阵,设矩阵 A=(aij)，记A=(aij)，称为矩
2、阵 A 的负矩阵显然,设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量,例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,二、数与矩阵相乘,定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l，规定为,数乘矩阵的运算规律,设 A、B是同型矩阵，l,m 是数,矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.,知识点比较,其中aij 表示工厂
3、向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量,例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：,这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量,解：,以 ci1，ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及总重量，其中 i=1,2,3于是,其中aij 表示工厂向第 i 家商店发送第 j 种货物的数量,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,可用矩阵表示为,一般地，,一、矩阵与矩阵相乘,定义：设，那么规定矩阵 A
4、与矩阵 B 的乘积是一个 mn 矩阵，其中,并把此乘积记作 C=AB,例：设,则,知识点比较,有意义.,没有意义.,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例 P.35例5,结论：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵，却有，从而不能由 得出 或 的结论,矩阵乘法的运算规律,(1)乘法结合律,(3)乘法对加法的分配律,(2)数乘和乘法的结合律（其中 l 是数）,(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即,推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何同阶方阵都是可交换的.,纯量阵不同于对角阵,(5)矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义,显然,思考：下列等式在什
5、么时候成立？,A、B可交换时成立,四、矩阵的转置,定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT.,例,转置矩阵的运算性质,例：已知,解法1,解法2,定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足，即那么 A 称为对称阵.,如果满足 A=AT，那么 A 称为反对称阵.,对称阵,反对称阵,例：设列矩阵 X=(x1,x2,xn)T 满足 X T X=1，E 为 n 阶单位阵，H=E2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT=E.,证明：,从而 H 是对称阵,五、方阵的行列式,定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.,运算性质,证明：要使得|AB|=|A|B|有意义，A、B 必为同阶方阵，假设 A=(aij)nn，B=(bij)nn.,我们以 n=3 为例，构造一个6阶行列式,令，则 C=(cij)=AB,从而,定义：行列式|A|的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵.,元素 的代数余子式 位于第 j 行第 i 列,性质,性质,证明,（设A，B 为复矩阵，l 为复数，且运算都是可行的）：,六、共轭矩阵,运算性质,当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记，称为 的共轭矩阵.,
