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1、2023/11/2,常微分方程,1.2 基本概念,2023/11/2,常微分方程,定义1:联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.,例1：下列关系式都是微分方程,一、常微分方程与偏微分方程,2023/11/2,常微分方程,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程.,都是常微分方程,1.常微分方程,如,2023/11/2,常微分方程,如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程.,注:本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.,2.偏微分方程,如,都是偏微分方程.,2023/11/2,常微分方
2、程,定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程.,二、微分方程的阶,如:,2023/11/2,常微分方程,n阶微分方程的一般形式为,2023/11/2,常微分方程,是线性微分方程.,三 线性和非线性,如,1.如果方程,2023/11/2,常微分方程,是非线性微分方程.,如,2.n阶线性微分方程的一般形式,不是线性方程的方程称为非线性方程,2023/11/2,常微分方程,四 微分方程的解,定义4,2023/11/2,常微分方程,例2,证明:,2023/11/2,常微分方程,1 显式解与隐式解,相应定义4所定义的
3、解为方程的一个显式解.,隐式解.,注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.,2023/11/2,常微分方程,例如,有显式解:,和隐式解:,2023/11/2,常微分方程,2 通解与特解,定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.,例如:,n阶微分方程通解的一般形式为,2023/11/2,常微分方程,注1:,2023/11/2,常微分方程,例3,证明:,由于,故,2023/11/2,常微分方程,又由于,2023/11/2,常微分方程,注2:,注3:,类似可定义方程的隐式通解,如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的
4、相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.,以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解.,2023/11/2,常微分方程,在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.,例如,定义6,2023/11/2,常微分方程,3 定解条件,为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.,求满足定解条件的求解问题称为定解问题.,常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:,当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.,2023/11/2,常微分方程,注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为,注2:,2023/11/2,常微分方程,例4,解,由于,且,2023/11/2,常微分方程,解以上方程组得,2023/11/2,常微分方程,五 积分曲线和方向场,1 积分曲线,一阶微分方程,称为微分方程的积分曲线.,2023/11/2,常微分方程,2 方向场,在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.,所规定的方向场.,2023/11/2,常微分方程,例5,2023/11/2,常微分方程,例6,积分曲线,方向场,2023/11/2,常微分方程,方向场示意图,积分曲线,例7,2023/11/2,常微分方程,习题：p15.2(1、3、5)；3（1、3、5、7）；4,
