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1、1,2.5 一阶隐式微分方程,一阶显式微分方程,一阶隐式微分方程,例 求解微分方程,2,解：方程右端分解因式，得,从而得到两个方程,故原方程的通解可以表示为,通解也可以表示为,3,一、可解出y 或x 的方程与微分法,4,若求出方程的通解为,代入原方程得通解为,情形1：,情形2：,5,情形3：,若能求出通积分，,同理若解出x，完全类似。,则得到参数形式的通积分,其中 是参数。,则得到参数形式的解,如果还有解,6,例(微分法)：求解方程,解：令,则原方程可写成,两边对 x 求导得到,整理化简后得方程,7,对,积分得该方程的通解为,得原方程的一个解,又从,得另一个解,又得方程的一个解,8,Clair
2、aut方程,二阶连续可微，且,利用微分法求解此方程.,因此通解为,9,二、不显含 x 或 y 的方程与参数法,引入参数 t 将上式用参数曲线表示为,就可以得出微分方程用参数形式表示的解。,10,由参数的微分法知,方程 的解为,11,例(参数法)求微分方程,解：令,解得,由于,积分得,故原方程参数形式的通解为,消去此参数 t,得到通解为,12,三、奇解与包络,设一阶隐式方程 有一个特解,13,奇解存在的必要条件：,P-判别式。,则奇解 满足一个联立方程组：,消去 得到方程,14,奇解存在的充分条件：,若条件,15,例：讨论方程,的奇解。,解：对方程有,它的 P 判别式为,又,从两个方程消去 p
3、得,16,在L上每一点都有曲线族上的某一曲线与之相切，,并且在L的每一段上都有曲线族的无穷多条曲线与,之相切。我们就把这条曲线L称为曲线族的包络。,半径为定长 r 的一族圆。,此曲线族有包络,及,17,为了消去 c 将二式代入一式得,因此由 C 判别曲线分解成两条直线，,和,不是包络，,是包络。,18,内容小结,隐式方程可解的形式,P83 1（3,5），2（1,6），4（1,3）,作 业,奇解和包络,19,2.7一阶微分方程的应用,1.曲线族的等角轨线,设给定一个平面上以 C 为参数的曲线族,（2.7.1）,我们设法求出另一个以 k 为参数的曲线族,（2.7.2）,使得曲线族（）中的任一条曲线与,曲线族（2.7.1）中的每一条曲线相交时成定角,20,当,时，称曲线族,的正交轨线族。,解：对方程两边关于 x 求导得,21,由于所求曲线族的曲线与,中的曲线在,正交，故满足方程,正交曲线族为,这是一个椭圆.,22,P.97 1（3,4）,作 业,3，9，11,
