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1、1,定理1,线性微分方程的解的结构,定理2,线性无关解，,齐次方程通解：,非齐次方程通解：,定理4,定理3,定理5,2,例1,都是方程:,求此方程的通解.,的解,齐次方程的特解.,非齐次线性方程的两个特解之差,是对应,非齐次方程的通解：,齐次线性方程的通解：,解,线性无关.,3,(3)根据特征根的不同情况，得到相应的通解。,(1)相应的特征方程,(2)求特征根，,二阶常系数齐次线性方程,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,4,解,特征方程,通解：,例2,特征根,5,解,特征方程,通解：,例3,特征根,6,例4,解初值问题,解,特征方程,特征根,方程的通解：,(二重根),特解,7,例5
2、,求方程,解,的通解.,特征方程,所求通解:,特征根,和,8,特征根,所求通解:,解,特征方程,例6,9,解：,特征根,求微分方程 的通解.,特征方程,?,二阶常系数齐次线性方程,通解,或:,设,例7,10,不是根,是单根,是重根,二阶常系数非齐次线性方程,11,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,(1)求对应齐次方程的通解,(2)求非齐次方程的解,例8,12,代入方程,原方程通解：,对应齐次方程通解,例8,13,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例9,(1)求对应齐次方程的通解,(2)求非齐次方程的特解,14,代入方程,得,原方程通解：,对应齐次方程通解,例9,15,解,对应齐次方
3、程通解,特征方程,特征根,(1)求对应齐次方程的通解,例10,二阶常系数线性非齐次方程,16,(2)求非齐次方程的特解,(3)求原方程的特解,原方程通解：,例10,17,提示,根椐线性微分方程的性质,两个特解的和就是原方程的特解.,特解。,练习,18,微分方程,的特解,解,特征方程,特征根,对应的齐次微分方程,练习,19,练习,是二阶常系数微分方程,满足初始条件,的特解,函数,的极限,(A)不存在.,(B)等于1.,(C)等于2.,(D)等于3.,解,20,解,两端再对x求导,积分方程,微分方程,积分方程,二阶常系数非齐次线性方程.,练习,21,(1)验证函数,满足微分方程,(2)求幂级数,解,(1),练习,22,解,(2),相应的齐次微分方程,特征方程,特征根,非齐次方程的特解：,代入方程,通解,23,解,特征方程,特征根,(1)求对应齐次方程的通解,(二重),练习,24,(2)求非齐次方程的特解,原方程通解：,特征根,不是特征根.,代入方程,25,原方程通解：,特征根,是二重特征根.,代入方程,
