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1、第四章 微分方程,积分问题,微分方程问题,推广,第一节 微分方程的基本概念,一、问题的提出,二、微分方程的定义,解,一、引例,例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.,设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:,将 x=1,y=2 代入上式，解得:,C=1,故所求曲线方程为,解,例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当 制动时列车获得加速度0.4米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？,设列车在制动后 t 秒行驶了s=s(t)米,则有如下关系式:,代入条件后知,开始制动到列车完全停
2、住共需,列车在这段时间内行驶了,1、微分方程定义,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的基本概念,注意:在一个微分方程中,自变量,未知函数可以不出现,但未知函数的导数(或微分)一定要出现.,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,（differential equation）,2、微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.,例:指出下列各微分方程的阶,分类1,常微分方程：,偏微分方程,分类2,一阶微分方程,高阶(n 阶)微分方程,未知函数是一元函数的微分方程.,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微
3、分方程的解.,3、微分方程的解,4、微分方程的解的分类,1)若微分方程的解中含有独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这解为微分方程的通解(general solution).,2)用一些条件确定通解中任意常数而得到的解称为微分方程的特解(particular solution).,通解,特解,特解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,3)用来确定微分方程通解中的任意常数的值的称为定解条件.,一阶微分方程:,二阶微分方程:,定解条件通常也称为初值条件(initial condition).,(或初始条件),过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率
4、为定值的积分曲线.,5、初值问题(Cauchy 问题)求微分方程满足初始条件的解的问题.,练习题,(A)通解；(B)解，但不是通解；(C)特解；(D)解，但不一定是通解.,4、已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分,求所满足的微分方程.,4、已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分,求所满足的微分方程.,解 如图所示,令 Y=0,得 Q 点的横坐标,即,点 P(x,y)处的法线方程为,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,三、小结,练习,3,2,1,2,解,所求特解为,
