《控制系统的数学模型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《控制系统的数学模型.ppt（113页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、2-2 复数域数学模型,2-1 时域数学模型,概述,2-3 结构图与信号流图,2-4 数学模型的实验测定法,第二章 控制系统的数学模型,概述,1、数学模型的定义,3、建立数学模型的方法,2、建立数学模型的意义,4、建立数学模型的工具,1、系统数学模型的定义,描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式称为数学模型。,物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。电子放大器 看成 理想的线性放大环节。通讯卫星 看成 质点。,2
2、、数学模型的意义,对系统行为进行控制的基础,研究系统运行规律的基础,定量研究的基础,对系统未来进行预测的基础,3、建立数学模型的方法,解析法,根据具体系统服从的规律，运用适当的数学工具列出各变量间的关系。,实验法,在系统内部关系复杂时，为达到某种目的，可以通过实验手段，测量该系统的输入输出，然后运用系统辨识的手段，构建出一个近似的数学模型。,实验法:基于系统辨识的建模方法,已知知识和辨识目的实验设计-选择实验条件模型阶次-适合于应用的适当阶次参数估计-最小二乘法模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近,微分方程,差分方程,传递函数,4、建立数学模
3、型的数学工具,拉氏变换传递函数，Z变换传递函数,其他数学工具（如Rough Set，Petri等）,2-1 时域数学模型,一、线性元件的微分方程,二、控制系统微分方程的建立,三、线性系统的特性,四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法）,六、运动的模态（振型）Mode,五、非线性微分方程的线性化,根据基尔霍夫电压定律,合并，整理,例2-1 RLC 无源网络的微分方程,一、线性元件的微分方程,例2-2 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。,根据牛顿定理，可
4、列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：,例2-3电枢控制式直流电动机,电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。电枢回路电压平衡方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程,整理得：,在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而上式可简化为,电动机机电时间常数（s）,如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时，还可进一步简化
5、为,系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下：确定系统的输入量和输出量将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。,电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。,需要讨论的问题：,定义具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中分别与 为相似量。,作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。,二、线性系统的特性,1、线性系统的性质,可叠加性,均
6、匀性（或奇次性）,若,则,在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。,2、线性系统性质的应用,多个外作用产生的响应可通过逐个外作用响应的 叠加。,零输入和零初始条件响应合成得到非零响应。,系统对输入和干扰分别研究。,只有线性时不变微分方程才能运用Laplace变换为 代数方程。,三、非线性微分方程的线性化,在实际工程中，几乎所有的器件、系统都是非线性的，完全线性的几乎没有。,（1）许多情况下，在一定工作范围，一定精度范围下，可以近
7、似看作是线性。,（2）严重非线性情况下，在工作点附近，可以局部的线性化。,19,在该点附近用泰勒级数展开,局部线性化切线法（小偏差法）,连续变化的非线性函数：,增量较小时略去其高次幂项，则有,20,写出增量线性化微分方程,略去增量符号，便得到函数 在工作点A附近的线性化方程：,显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。,对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为：，工作点为。则可近似为：式中：，。为与工作点有关的常数。,注意：上述非线性环节不是指典型的非线性特性(如间隙、库仑干摩擦、饱和特性等)，它是可以用泰勒
8、级数展开的。实际的工作情况在工作点附近。变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。,22,(例2-7),23,续（例2-7）,10y12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。解：由于研究的区域为5x7、10y12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66.求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有,因此，线性化方程式为：,z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66当x=5,y=10时，z
9、的精确值为z=xy=510=50由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49,因此，误差为50-49=1，表示成百分数,例2-5,试把非线性方程 z=xy 在区域5x7、,【归纳】,非线性微分方程线性化的步骤,（1）写出动态微分方程；,（2）在平衡点处，对非线性项采用Taylor展开，并取一阶近似（即线性近似）；,（3）把一阶近似式带入原微分方程；,（4）利用平衡方程，获得增量微分方程；,（5）为记述方便，省去增量符号，获得所谓的在增量情况下的 线性化微分方程。,线性化微分方程的运用条件,（1）在获得方程的平衡点附近。如平衡点改变，则增量方程也 改变。,（2)输入、输出一定
10、在增量数量级.,四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法）,微分方程的解法,直接解析法（分离变量法）适用于少量简单的情况,Laplace变换解析法 仅适用于线性时不变情况,状态转移矩阵法 仅适用于线性时不变情况,数值法 适用于所有情况,本节讨论用Laplace变换法解线性时不变微分方程,例2-6 已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V。求电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。,解：,【RLC无源网络微分方程】为：,令,据Laplace变换的微分性质,由输入电压产生的输出分量与初始条件无关,零初始
11、条件响应,零输入响应,由初始条件产生的输出分量与输入电压无关,零初始条件响应零输入响应单位阶跃响应,【Laplace法解线性定常微分方程归纳】,（2）由代数方程求出输出量的拉氏变换表达式，使之成为典型分式之和；,（3）反Laplace变换得到输出量的时域表达式。,（1）考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；,五、运动的模态（振型）Mode,（1）定义：所谓模态，即齐次微分方程的独立解，n阶微分方程有n个独立解。每一种模态代表一种类型的运动形式。微分方程的通解是这些独立解的线性组合。,齐次微分方程的解：通解+特解通解由特征根所决定，若n阶微分方程的
12、特征根为称 为该微分方程的运动模态。,2-2 复数域数学模型,一、传递函数的定义和性质,引言,二、传递函数的几种表达式,三、传递函数极点、零点对输出的影响,四、典型元部件的传递函数,引言,传递函数的由来,对初始条件为零的微分方程进行LapLace变换而来,利用元部件的L表达式直接写出系统传递函数,使用传递函数的优点,使时域微分方程变成频域代数方程，减小问题的复杂度。,整个经典控制理论建立在传递函数基础上。,积累着前人的丰富经验。,传递函数的局限性,只适合线性时不变系统，全零初始条件,只适用于解析计算，但不适用于数值计算,了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响-分析,可以对系统性能的要求转化
13、为对传递函数的要求-综合,一、传递函数的定义和性质,C 一般形式,A 定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,零初始条件的两个含义：,（2）指系统处于“静态”，输入量及其各阶导数在T=0时为零。,（1）指系统处于“稳态”，输出量及其各阶导数在T=0时为零。,关于传递函数的几点说明,传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应，且与系统的动态特性一一对应。传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。传递函数仅与系统的结构和参数有
14、关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数忽略了初始条件的影响。传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。,D传递函数与微分方程的关系,（1）传递函数由零初始条件微分方程经LapLace变换而得。,（2）如果将微分方程中的导数运算符用复变量s代换，可得,二、传递函数的几种表达式,【说明】,A 传递函数的“有理分式”型,（1）由微分方程Laplace变换，结构图，信号流图综合及 其
15、他运算后的得到的传递函数通常都写成有理式。,（3）该形式在观察初值，终值时特别直观。,（4）该形式在观察稳态误差时也特别直观。,（2）分子分母多项式以降幂的形式排列，各项系数多是实数。,B 传递函数的零极点增益形式,（1）分子分母写成“单阶因子”的形式。,【说明】,（2）Z是传递函数的零点，P是传递函数的极点。K*为“零极点型”增 益或“根轨迹”增益。,（3）观察系统的零极点分布最为方便。,C 传递函数的“标准因子”形式,（1）分子分母均分解成“标准因子”乘积,（2）各因子中，系数都是实数，且具有鲜明的物理概念。,（3）该形式适合绘制对数幅频曲线（Bode）。,【说明】,（4）该形式适于观察低
16、频增益,D 传递函数的“部分分式”形式,（3）该形式适合通过Laplace反变换求得时域响应。,【说明】,（1）传递函数被分解成“标准分式”的求和形式。,（2）分式中系数都是实数，且具有鲜明的物理概念。,三、传递函数极点、零点对输出的影响,A、极点决定了固有响应的模态,说明:传递函数的极点就是特征方程的根.决定了系统自由运动的模态,在强迫运动(零初始条件响应)也包含这些模态.,B、零点影响各模态在响应中所占的比重,举例说明，在单位阶跃输入下，观察极点相同而零点的两个系统的响应。,说明:传递函数的极点不影响系统自由运动的模态,但影响各模态响应中占的比重,因而影响曲线的形状.,43,4、典型元部件
17、的传递函数,A 电位器,B 测速发电机,角速度电压量（直流、交流）,45,C 电枢控制直流伺服电动机,电枢控制直流伺服电动机简化后的微分方程为：,令Mc(t)=0,得电枢电压ua(t)到转速wm(t)的传递函数：,令ua(t)=0,得负载扰动转矩Mc(t)到转速wm(t)的传递函数：,D 无源网络,校正元件 例2-8负载效应（图217负载效应示例）,单位角位移，输出电压（v/rad）E-电位器电源（v）电位器最大工作角（rad）,典型环节及其传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。,典型环节通常分为以下六种：1 比例环节式中 K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实
18、例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。2 惯性环节,式中 T-时间常数 特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出,不能立即复现，输出无振荡。实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。3 微分环节 理想微分一阶微分二阶微分 特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。,4 积分环节,特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。5 振荡环节 式中 阻尼比-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环
19、节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。,6 纯时间延时环节,式中 延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。一对电位器可组成误差检测器,K1是单个电位器的传递系统，,是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。,电位器的负载效应，一般要求,测速发电机测量角速度并将它转换成电压量的装置,转子角速度（rad/s）,输出斜率（v/rad/s）,直流测速发电机交流测速发电机,电枢控制直流伺服电动机中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为,可视为负载扰动转
20、矩根据线性系统的叠加原理，分别求,到,和,到,的传递函数。,0,由传递函数定义,a 令,b 令,两相伺服电动机 两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成。定子线圈的一相是激磁绕组，另一相是控制绕组，通常接在功率放大器的输出端，提供数值和极性可变的交流控制电压。,2-3 结构图与信号流图,引言,一、结构图的基本单元和等效规则,五、闭环系统的传递函数,二、信号流图的组成和性质,三、信号流图的绘制,四、Mason公式,由单向运算框图和信号流向线组成的描写一般系统中信号传递关系的定量分析图形。,何谓结构图,何谓信号流图,由单向增益支路和节点运算框图和信号流向线组成的描写线性系统信号流的定量分析图形。,引言
21、,共同点,都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形，它们表示系统中各变量间的因果关系以及对各变量所进行的运算。,两种图比较,1、结构图的基本单元,（1）信号线,带箭头的直线,（2）引出点（或测量点）,信号引出或测量位置,一、结构图的基本单元和等效规则,箭头表示信号的流向,同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同,在直线旁标注信号的时间函数或象函数,（3）比较点（或综合点）,表示对两个以上信号进行加减运算,（4）框图（或环节）,方框表示对信号进行的数学变换,C(s)=G(S)*U(S),“”表示相加；“”表示相减,“”可忽略不写,方框内写入元部件或系统的传递函数,分别列写各元部件的运动方
22、程，并在零初始条件下 进行Laplace变换。,绘制系统结构图基本步骤：,(2)根据各元部件在系统中的工作关系，确定其输入量和 输出量，并按照各自的运动方程化出每个元部件的方 框图。,(3)用信号线按信号流向依次将各元部件的方框连接起来。,例1：画出下列RC网络的方块图。,若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i,u1,i2，现在改为I,I1,I2),从右到左列方程：,这个结构与前一个不一样，选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。,绘图,从左向右列方程组,将上页方程改写如下相乘的形式：,绘图：U(s)为输入，画在最左边。,绘图：U(s)为输
23、入，画在最左边。,这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。,如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示。,2、结构图的等效变换和简化,(1)串联,U(s)=G1(s).R(s),G(s)=G1(s).G2(s),结论：N个方框串联的等效传递函数等于N个传递函数之乘积。,C(s)=G2(s).U(s),整理C(s)=G1(s).G2(s).R(s),(2)并联,有C1(s)=G1(s).R(s),G(s)=G1(s)G2(s),结论：N个方框并联的等效传递函数等于N个传递
24、函数之代数和。,C2(s)=G2(s).R(s),整理C(s)=G1(s)G2(s).R(s),(3)反馈,有C(s)=G(s)*E(s),结论：闭环传递函数“+”正反馈“-”负反馈,B(s)=H(s)*C(s),E(s)=R(s)B(s),整理有：,(4)比较点的移动,(1)比较点前移,（2)比较点后移,(1)引出点前移,（2)引出点后移,(5)引出点的移动,例【2-14】简化下图，并写出系统的传递函数,例【2-15】简化下图，并写出系统的传递函数,比较点前移,引出点后移,解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题
25、的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。,例2-16用结构图等效法则，求下图所示系统的传递函数C(s)/R(s),反馈公式,串联和并联,二、信号流图的组成及性质,梅森Mason利用图示法描述一个或一组线性代数方程式。由节点和支路组成的一种信号传递网络。,(2)基本单元,a节点：代表变量，用小圆圈表示。,b支路：代表因果关系的乘法因子，表示两个变量之间的传递方向及增益，用单向线段表示。,(1)起源,(3)基本性质,节点代表变量,每个节点变量等于所有流入该节点的信号之代数和。,从该节点流出的信号都等于该节点变量。,支路代表因果关系的乘
26、法因子。相当于乘法器，信号流经支路时，被 乘以支路增益而变换为另一信号。,在支路上信号传递是单向的。,信号流图不是唯一的。,(4)典型信号流图,由图得：,(5)常用术语,【源节点】【输入节点】:只有信号输出支路，没有信号输入支路。,输入节点,输出节点,混合节点,混合节点,【阱节点】【输出节点】：只有信号输入支路，没有信号输出支路。,【混合节点】：既有信号输出支路，又有信号输入支路。,【前向通路】：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一 次的通路。前向通路上个支路增益的乘积称为【前向通路总增益】。,【回路】【单独回路】：起点和终点在同一节点，而且信号通过每个节点不多于一次的闭合通路。,
27、【不接触回路】：回路之间没有公共节点。,前向通路,前向通路增益,前向通路,前向通路增益,回路1,回路1增益,回路2,回路2增益,回路3,回路3增益,回路1和回路3,回路2和回路3,三、信号流图的绘制,1、由系统微分方程绘制信号流图：先取拉氏变换，再绘制。例2-17,2、由系统结构图绘制信号流图,1.结构图的输入处加输入节点,标“输入变量名”.,2.方框间的连接线中应加信号节点,标”线输变量名”.,3.连线分流处应加信号节点,标”线输变量名”.,4.比较点处应在比较点的信号流出处标加信号节点,标”比较点输出变量名”.,5.结构图的输出处加输出节点,标“输出变量名”.,(3)比较点和节点对应关系,
28、四、梅森公式的推导,已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为,以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程,于是可求得该方程组的系数行列式,和,根据克莱姆法则得,于是传递函数为,分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。,图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路和、和、和）,所有单独回路增益之和为,两两互不接触回路增益乘积之和为,而值恰好为,可见，传递函数的分母取决于信号流图的拓扑结构特征
29、。,如果把中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示,故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为,具有任意条【前向通路】及任意个【单独回路】和【不接触回路】的复杂信号流图，求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的Mason增益公式为：,P：为从源点到阱点的传递函数【总增益】,四、梅森增益公式,【流图特征式】：1La+LbLc-LdLeLf.其中,n：为从源点到阱点的前向通路总数,Pk：为从源点到阱点的第k条前向通路总增益,La所有单独回路增益之和。,Lb Lc所有互不接触单独回
30、路中，每次取2个回路的回路增益乘积之和。,Ld Le Lf所有互不接触单独回路中，每次取3个回路的回路增益乘积之和。,【流图余因子式 k】：等于流图特征式中除去与第k条前向通路相接触回路增益的余项。（包括回路增益乘积项）,（1）对于给定的系统信号流图，流程特征式确定不变。,Mason公式说明,（2）对于不同的源节点和阱节点的前向通路和余因子i不同。,前向通路个数为n=2,增益分别为abcd,e,单独回路3个，增益分别为bf,cg,dh,两不互接触回路1个，增益为bfdh,例2-10,例2-11,前向通路个数为n=2,增益分别为,单独回路5个，增益分别为,没有不接触回路,且所有回路均与两条前向通
31、路接触,例2-13：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数,解：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：,回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：,求：,前向通道有二，分别为:,求：,注意：上面讲 不变，为什么？是流图特征式，也就是传递函数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总是不变的，可以试着求一下。,例2-14数数有几个回路和前向通道。,有四个回路，分别是：,它们都是互相接触的。,有九条前向通道，分别是：,对应的结构图为：,注意：信号流图与结构图的对应关系；仔细确定前向通道和回路的个数。,五、闭环系统的传递函数,求下图在输入和扰动共同作用下的输出,【说明】,叠加定理
32、是指总输出等于各输入作用下响应的叠加,把不同输入输出下的传递函数叠加没有任何意义,几个常用的术语,【说明】,前向通路传递函数:,反馈通路传递函数:,单位反馈系统:,开环传递函数:,闭环传递函数:,1、输入信号下的闭环传递函数：令N(s)=0,得,2、扰动作用下的闭环传递函数：令R(s)=0,得,系统输出只取决于反馈通路传递函数和H(s)和输入信号R(s)。与前向通路传递函数无关,也不受扰动作用的影响.,系统在扰动作用下的输出为,系统在有用输入和扰动同时作用下的输出为,特别是当 H(s)=1，即单位反馈时，C(s)R(s),从而近似实现了对输入信号的完全复现，且对扰动具有较强的抑制能力。,说明:
33、,闭环系统在输入信号和扰动作用时,以误差信号E(s)作为输出量的传递函数称为误差传递函数.,1.各种闭环系统传递函数的分母相同,是同一个信号流图的特征式.,2.应用叠加定理可以研究系统在各种情况下的输出量C(s)或误差量E(s).,3.不允许将各种闭环传递函数进行叠加后求输出响应.,3、闭环系统的误差传递函数：,信号流图的组成；术语；信号流图的绘制和等效变换；梅逊公式极其应用；信号流图和结构图之间的关系。,小结,See you next time.,Thanks,Ch2 Task,2-5(1)(3)2-102-112-17(b)(f)2-18(b)2-20(b)2-21(b)2-22(d)(e),
