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1、第5章 微分方程与差分方程,重点：微分方程的解法难点：建立微分方程模型,5.1 微分方程基础,5.1.1 实际背景,建立这一问题的数学模型如下：,微分方程,初值条件,指数增长模型 设人口数量N(t)的增长速度与现有人口数量成正比,求N(t).(P247),设开始时人口数量为N0,年增长率为r,建立这一问题的数学模型如下：,微分方程,初值条件,5.1.2 基本概念,定义 凡含有自变量、未知函数及其微商(或微分)的方程,称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,否则称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，以后所说的微分方程都是指常微分方程.微分方程中未知函数微商的最高阶数称为微分方程
2、的阶.,线性微分方程,未知函数及其各阶微商都是一次的微分方程称为线性微分方程.,回答这个问题并不重要,重要的是要会求解它,它可变形为,微分方程的解,微分方程的解是指能使微分方程成为恒等式的已知函数.微分方程的通解：含有 n 个相互独立的任意常数的解,其中 n 是微分方程的阶数.,初值条件：确定通解中 n 个任意常数的条件.微分方程的特解：满足初值条件的解.,5.2 一阶微分方程,5.2.1 可分离变量的微分方程,5.2.2 齐次(微分)方程,5.2.3 一阶线性微分方程,微分方程.,解法：先求解相应的齐次线性微分方程,分离变量,得,两边积分后,得,由此得,常数变易法,由此解出,一阶线性微分方程
3、的求解技巧,这种方法的优点是无需记公式，而且比公式法的计算量小.,练习 解下列微分方程,可化为一阶线性微分方程,分析 这种类型微分方程的特点是,其中有一个变量是一次的.,令 x=C(y)y 代入(*)得,原方程的通解为x=y3/2+Cy.,贝努利方程(P259-260),5.2.4 微分方程的应用(连续模型),微分方程在实际中的应用是十分广泛的.如何把实际问题转化为微分方程模型？大多数情况下所研究的变量是随时间而变化的,建立微分方程模型的关键,是要弄清楚该变量的变化率(微商)与该变量之间的关系.在求解微分方程时,要注意其初值条件.求解得到结果时，一般要解释结果的实际意义.例如指数增长模型比较适
4、用于短期预测,而不太适用于长期预测,因为当时间变量趋于无穷大时，所研究的变量趋于无穷大,这与实际是不相符的.,阻滞增长模型(Logistic模型),这就是非常著名的 Logistic 增长模型(即阻滞增长模型).阻滞增长模型用途十分广泛,除了用于预测人口增长外,也可完全类似地用于虫口增长、疾病的传播、谣言的传播、技术革新的推广、销售预测等.,药物总量模型,这类模型研究在一个容器内物质总量随时间而变化的情况,目标是测定某一时刻物质在容器内的总量.依据是物质总量的变化率等于物质进入容器的速率减去物质离开容器的速率.(P262),5.3 二阶微分方程,5.3.1 可降阶的二阶方程,代入原方程,然后求
5、解一阶微分方程,可降阶的二阶方程,解得C(x)=2x2+C,从而 p=2x+C/x.,可降阶的二阶方程,积分得 arctany=x+C,由 y(1)=0得 y=tan(x 1),5.3.2 二阶常系数线性微分方程,线性微分方程解的结构,二阶常系数齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程,代入(*)得,二阶常系数齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程的通解,练习 解下列方程 y 2y 3y=0 y+2y+y=0 y+2y+5y=0,二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式,5.4 差分方程,5.4.1 差分方程基础,5.4.2 一阶常系数线性差分方程,形如,5.4.3 二阶常数线性差分方程,二阶常系数非齐次线性差分方程,5.4.4 差分方程的应用(离散模型),令yn=0得,离散阻滞增长模型,市场经济中的蛛网模型,稳定的蛛网模型,不稳定的蛛网模型,第5章 重要概念与公式,通解,特解,初值条件,线性微(差)分方程,参数方程微商复习,隐含的初值条件,综合应用题,解此微分方程得,
