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1、1 微分方程基本概念,函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解微分方程。,解,一、问题的提出,（1）,（2）,（3）,将（2）代入（3）,（4）,解,（5）,（6）,对（5）两边积分可得：,（7）,将（6）代入（7）可得：,（8）,在例1和例2中的（1）和（5）式中都含有未知函数的导数，我们有：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程
2、.并称方程中最高阶导数的阶数为微分方程的阶数。,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些 导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的基本概念,说明1（1）一个微分方程中自变量、自变量的未知函数未必都出现；例1中两者都出现，例2中自变量未必现；（2）例1和例2中的微分方程分别为一阶、二阶微分方程；,分类1：微分方程与偏微分方程,另一类未知函数为多元函数的方程为偏微分方程,在上述两个引例中未知函数都是一元的，我们称未知函数为一元函数的微分方程为常微分方程。,说明2 I、一阶微分方程几种形式：（1）一般形式：,例1和例2中的微分方程分别为一阶常微分方程和二阶常微分方程；,（2）一阶显示方程：,
3、（3）对称形式：,本章我们主要研究的是常微分方程。,II、在一阶方程中，x和y的关系是等价的，因此 有时可以将x看成函数，y看成变量；,其中x为自变量，y为未知函数，这里y(n)一定要出现，其它的可以出现也可以不出现。,一般地，n阶常微分方程记为,若,则称之为n阶线性常微分方程，,分类2：线性与非线性微分方程,可以表示称如下形式,均为自变量x的已知函数。,反之，不能写成上面形式的微分方程称为非线性 微分方程。,如引例中的1、2都是线性的微分方程，分别为一阶和二阶线性微分方程；而,都是一阶和二阶非线性微分方程。,（1）若,（2）若,分类3：解与隐式解,能使得它变为恒等式,所确定的隐函数,容易验证
4、：,解和隐式解统称为微分方程的解,(1)通解:若上式的解中含有n个独立的任意常数，即,微分方程的解的分类：,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,说明3：通解和特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解。,微分方程求特解的方法和步骤：,Step1：首先求出,的通解；,Step2：然后在根据实际情况找出能求出通解中n 个常数的条件定解条件；,Step3：根据定解条件求出满足条件的特解；,由定解条件求特解的问题，称为微分方程的定解问题。,又称为初始条件；其中,相应的定解问题又称为初值问题，即,常见的定解条件,为给定常数,如引例中，,定解条件（或初值）；,为定解问题（或初值问题）,解,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法:初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),思考题,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,
