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1、1,第六节 广义积分初步,一、无穷限积分,二、瑕积分,2,一.无穷限积分,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,3,定义1.设,若,存在,记作,这时称反常积分,收敛；,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地，若,则定义,则称此极限为 的无穷限反常积分,4,则定义,只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型,说明：上述定义中若出现,它表明该反常积分发散.,(为任意取定的常数),5,解：,例1.,如何求无穷限积分？,（1）求普通定积分；,（2）计算普通定积分的极限.,6,引入记号,则有类似牛莱公式的计算表达式：,于是，,7,8,但使用时，最好先
2、求出原函数，否则可能会出现错误.,9,例3.计算反常积分,解：,思考：,分析：,原积分发散!,注意：对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,10,例4.,解：,11,例5.证明第一类 积分,当 时收敛；,时发散,其中,证：当 时有,当 时有,因此,当 时,反常积分收敛,其值为,当 时,反常积分发散.,12,无穷限积分的基本运算性质：,（5）无穷限积分也可按照定积分的换元法进行计算.,13,例6.计算反常积分,解：,14,解：,例7.,15,二.瑕积分,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,16,瑕点的概念：,17,定义2.设,存在,这时称反常积分,收
3、敛；如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,若极限,则定义,则称此极限为函,记作,而在点 的右邻域内无界,而在 的左邻域内无界,数 在 上的反常积分,18,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明：,无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,而在点 的,19,若瑕点,计算表达式：,则也有类似牛莱公式的,则,可相消吗?,特别地，,若 为瑕点,则,若 为瑕点,则,若 都为瑕点,则,20,例8.计算反常积分,原式,解：显然瑕点为,所以,21,例9.,解：,22,瑕积分的基本运算性质,2
4、3,例10.,解：,24,例11.计算,解：,为瑕点,25,例12.证明反常积分,当 时收敛；,时发散,其中,所以,当 时,该广义积分收敛,其值为,当 时,该广义积分发散.,证：当 时,当 时,26,例13.,解：,不存在,27,注3：在定义3中,若令,三.,定义3：参变量 的函数,注1：当 时,定义3中的广义积分收敛.,也是一个(瑕点为)瑕积分.,下面介绍一个在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的特殊积分,也称为欧拉积分.,称为.,则有 的另一形式：,28,特别地,注4：的基本性质,(1)递推公式：.,29,(3)余元公式：,特别地,反复用递推公式,则有,在任意一点 处的函数值都可通过递推公式逐步减小,直到,而 在 内的函数值可查表得到.,30,例14.计算下列各式的值：,例15.计算下列积分：,31,(此积分是概率论中常用的积分.),练习,并求其值.,解：,令,试证,
